Algèbre/Addition Propriétés

Prérequis

Il est indispensable de lire l'article sur entiers naturels et celui sur la démonstration du théorème de récurrence.

Composition Interne

Définition

$\forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}=>a+b\in \mathbb {N}$

Démonstration

Nous allons démontrer que $\forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}$ on a $a+b\in \mathbb {N}$

Fixons $a$ et recherchons l'ensemble $\mathbb {M}$ des b qui respectent $a+b\in \mathbb {N}$

$a+0=a$ donc on a $0\in \mathbb {M}$

de plus

$\forall b\in \mathbb {M} =>a+b\in \mathbb {N} =>S(a+b)\in \mathbb {N} =>a+S(b)\in \mathbb {N} =>S(b)\in \mathbb {N}$

Les conditions du théorème de récurrence sont respectées sur $\mathbb {M}$. On peut donc en déduire $\forall (a,b)\in \mathbb {N} ^{2}=>a+b\in \mathbb {N}$

Associativité

Définition

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