Ces solutions n'ont pas été écrites par l'auteur du reste du livre. Elles sont simplement la réponse que je pense être correcte pendant que je faisais les exercices. J'espère que ces réponses sont utiles pour quelqu'un et que celui-ci corrigera mon travail s'il trouve des fautes.
Exercices sur la multiplication matricielle
(
1
2
3
)
(
1
2
3
)
=
(
(
1
×
1
)
+
(
2
×
2
)
+
(
3
×
3
)
)
=
(
14
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 1)+(2\times 2)+(3\times 3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14\end{pmatrix}}}
(
1
/
8
9
0
,
01
)
(
16
2
1000
)
=
(
(
1
/
8
×
16
)
+
(
9
×
2
)
+
(
0
,
01
×
1000
)
)
=
(
30
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1/8&9&0,01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\\1000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1/8\times 16)+(9\times 2)+(0,01\times 1000)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30\end{pmatrix}}}
(
a
b
c
)
(
d
e
f
)
=
(
(
a
×
d
)
+
(
b
×
e
)
+
(
c
×
f
)
)
=
(
a
×
d
+
b
×
e
+
c
×
f
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times d)+(b\times e)+(c\times f)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\times d+b\times e+c\times f\end{pmatrix}}}
(
6
+
6
b
3
−
b
b
)
(
0
0
0
)
=
(
(
(
6
+
6
b
)
×
0
)
+
(
(
3
−
b
)
×
0
)
+
(
b
×
0
)
)
=
(
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}6+6b&3-b&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}((6+6b)\times 0)+((3-b)\times 0)+(b\times 0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}}
(
0
a
b
c
0
)
(
a
0
q
)
=
(
(
0
×
a
)
+
(
a
b
c
×
0
)
+
(
0
×
q
)
)
=
(
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&abc&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(0\times a)+(abc\times 0)+(0\times q)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}}
Exercices sur la multiplication des matrices non-vectorielles
1.
a)
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
b)
2
×
4
{\displaystyle 2\times 4}
2.
a)
(
1
1
0
1
)
(
1
1
0
1
)
(
1
1
0
1
)
(
1
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}=}
(
1
1
0
1
)
(
1
1
0
1
)
(
2
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=}
(
1
1
0
1
)
(
3
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}}=}
(
4
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\1\\\end{pmatrix}}=}
b)
(
3
1
2
8
)
(
1
1
0
2
)
(
1
1
0
1
)
(
1
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}=}
(
3
1
2
8
)
(
1
1
0
2
)
(
2
1
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=}
(
3
1
2
8
)
(
3
2
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\\end{pmatrix}}=}
(
11
22
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}11\\22\\\end{pmatrix}}=}
3.
C
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}}
D
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}}
La chose importante à noter ici est que la matrice de 1 à 9 reste la même lorsqu'elle est multipliée avec l'autre matrice. La matrice composée uniquement de 1 sur la diagonale et 0 ailleurs est connue comme la matrice identité , notée I , et toute matrice multipliée d'un côté ou l'autre avec elle reste la même. C'est à dire
A
×
I
=
I
×
A
{\displaystyle A\times I=I\times A\,}
4. a)
A
5
=
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
=
{\displaystyle A^{5}={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=}
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
5
18
−
3
10
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}=}
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
13
42
−
7
22
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-13&42\\-7&22\\\end{pmatrix}}=}
(
−
1
6
−
1
4
)
(
−
29
90
−
15
46
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-29&90\\-15&46\\\end{pmatrix}}=}
(
−
61
186
−
31
94
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}}
b)
(
1
−
2
−
1
3
)
(
3
2
1
1
)
=
(
(
1
×
3
)
+
(
−
2
×
1
)
(
1
×
2
)
+
(
−
2
×
1
)
(
−
1
×
3
)
+
(
3
×
1
)
(
−
1
×
2
)
+
(
3
×
1
)
)
=
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3)+(-2\times 1)&(1\times 2)+(-2\times 1)\\(-1\times 3)+(3\times 1)&(-1\times 2)+(3\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}
c)
(
a
b
c
d
)
(
1
0
0
1
)
=
(
(
a
×
1
)
+
(
b
×
0
)
(
a
×
0
)
+
(
b
×
1
)
(
c
×
1
)
+
(
d
×
0
)
(
c
×
0
)
+
(
d
×
1
)
)
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times 1)+(b\times 0)&(a\times 0)+(b\times 1)\\(c\times 1)+(d\times 0)&(c\times 0)+(d\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
1
)
(
a
b
c
d
)
=
(
(
1
×
a
)
+
(
0
×
b
)
(
0
×
a
)
+
(
1
×
b
)
(
1
×
c
)
+
(
0
×
d
)
(
0
×
c
)
+
(
1
×
d
)
)
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times a)+(0\times b)&(0\times a)+(1\times b)\\(1\times c)+(0\times d)&(0\times c)+(1\times d)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}
d)
A
=
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
4
1
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
−
1
6
−
1
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}}
e) Comme exemple, je calculerai d'abord
A
2
{\displaystyle A^{2}\,}
A
2
=
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle A^{2}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
0
0
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
(
1
0
0
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
2
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
2
0
0
2
2
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{2}&0\\0&2^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
4
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
8
1
4
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&8\\1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
−
5
18
−
3
10
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}}
Maintenant, faisons les mêmes simplifications que j'ai fait précédemment avec
A
5
{\displaystyle A^{5}\,}
A
5
=
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
5
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle A^{5}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{5}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
5
0
0
2
5
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&2^{5}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
32
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
64
1
32
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&64\\1&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
−
61
186
−
31
94
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}}
f)
A
100
=
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
2
)
100
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle A^{100}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{100}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
100
0
0
2
100
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{100}&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2
1
1
)
(
1
0
0
1267650600228229401496703205376
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
3
2535301200456458802993406410752
1
1267650600228229401496703205376
)
(
1
−
2
−
1
3
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2535301200456458802993406410752\\1&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=}
(
−
2535301200456458802993406410751
7605903601369376408980219232254
−
1267650600228229401496703205373
3802951800684688204490109616122
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-2535301200456458802993406410751&7605903601369376408980219232254\\-1267650600228229401496703205373&3802951800684688204490109616122\\\end{pmatrix}}}
1.
det
(
A
)
=
2
5
×
5
2
−
2
3
×
3
2
=
0
{\displaystyle \det(A)={\frac {2}{5}}\times {\frac {5}{2}}-{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}=0}
2. Le système d'équations sera traduit dans les matrices suivantes
(
2
5
2
3
3
2
5
2
)
(
x
y
)
=
(
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}
det
(
(
2
5
2
3
3
2
5
2
)
)
=
0
{\displaystyle \det({\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}})=0}
Nous pouvons dire qu'il n'y a pas de solution unique pour ce système d'équations.
3. Calculons d'abord la valeur obtenue par la multiplication des déterminants
det
(
(
a
b
c
d
)
)
det
(
(
e
f
g
h
)
)
=
{\displaystyle \det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\det({\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=}
(
a
d
−
b
c
)
(
e
h
−
f
g
)
=
{\displaystyle (ad-bc)(eh-fg)=\,}
a
d
e
h
−
b
c
e
h
−
a
d
f
g
+
b
c
f
g
{\displaystyle adeh-bceh-adfg+bcfg\,}
Maintenant, calculons C en faisant la multiplication matricielle d'abord
det
(
(
a
b
c
d
)
(
e
f
g
h
)
)
=
{\displaystyle \det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=}
det
(
(
a
e
+
b
g
a
f
+
b
h
c
e
+
d
g
c
f
+
d
h
)
)
=
{\displaystyle \det({\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}})=}
(
a
e
+
b
g
)
(
c
f
+
d
h
)
−
(
a
f
+
b
h
)
(
c
e
+
d
g
)
=
{\displaystyle (ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)=\,}
a
e
c
f
+
b
g
c
f
+
a
e
d
h
+
b
g
d
h
−
a
f
c
e
−
b
g
c
e
−
a
f
d
g
−
b
h
d
g
=
{\displaystyle aecf+bgcf+aedh+bgdh-afce-bgce-afdg-bhdg=\,}
b
g
c
f
+
a
e
d
h
−
b
g
c
e
−
a
f
d
g
{\displaystyle bgcf+aedh-bgce-afdg\,}
qui est égal à la valeur calculée lorsque nous avons multiplié les déterminants, ainsi
d
e
t
(
C
)
=
d
e
t
(
A
)
d
e
t
(
B
)
{\displaystyle det(C)=det(A)det(B)\,}
pour le cas 2 x 2.
4.
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle \det(A)=ad-bc\,}
A
′
=
(
c
d
a
b
)
{\displaystyle A'={\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}}}
det
(
A
′
)
=
c
b
−
d
a
{\displaystyle \det(A')=cb-da\,}
−
det
(
A
′
)
=
−
(
b
c
−
a
d
)
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle -\det(A')=-(bc-ad)=ad-bc\,}
Ainsi
d
e
t
(
A
)
=
−
d
e
t
(
A
′
)
{\displaystyle det(A)=-det(A')\,}
5.
a)
A
=
P
−
1
B
P
{\displaystyle A=P^{-1}BP\,}
det
(
A
)
=
det
(
P
−
1
)
det
(
B
)
det
(
P
)
=
{\displaystyle \det(A)=\det(P^{-1})\det(B)\det(P)=\,}
det
(
P
−
1
)
det
(
P
)
det
(
B
)
=
{\displaystyle \det(P^{-1})\det(P)\det(B)=\,}
det
(
P
−
1
P
)
det
(
B
)
=
{\displaystyle \det {(P^{-1}P)}\det(B)=\,}
det
(
I
)
det
(
B
)
=
{\displaystyle \det {(I)}\det(B)=\,}
det
(
B
)
{\displaystyle \det(B)\,}
d
e
t
(
I
)
=
1
{\displaystyle det(I)=1\,}
ainsi
d
e
t
(
A
)
=
d
e
t
(
B
)
{\displaystyle det(A)=det(B)\,}
