Approfondissements de lycée/Nombres complexes

Approfondissements de lycée

Introduction

Bien que les nombres réels peuvent, dans un certain sens, représenter toute quantité naturelle concevable, ils sont dans un autre sens "incomplets". Nous pouvons écrire certains types d'équations à coefficients réels que nous désirons résoudre, mais qui n'ont pas de solutions à nombres réels. L'exemple le plus simple de ceci est l'équation :

${\begin{matrix}x^{2}+1&=&0\\x^{2}&=&-1\\x&=&{\sqrt {-1}}\end{matrix}}$

Votre professeur de mathématiques a dû vous dire qu'il n'y avait pas de solution "réelle" pour cette équation. Mais nous pouvons, en fait, étendre l'ensemble des nombres pour inclure les nombres complexes en déclarant que la solution de cette équation existe, et en lui donnant un nom : l'unité imaginaire, $i\,$.

Imaginons, pour ce chapitre, que $i={\sqrt {-1}}\,$ existe. Donc, $x=i\,$ est une solution à l'équation précédente, et $i^{2}=-1\,$.

Une bonne question que l'on pourrait poser est "Pourquoi ?". Pourquoi est-ce important que nous soyons capable de résoudre ces équations quadratique avec cette construction qui semble artificielle ? Il est intéressant de creuser un peu plus sur la raison de l'introduction des nombres "imaginaires" - il est apparu que non seulement cela était valide, mais qu'en plus ils permettaient une résolution plus aisée et plus élégante. Cette construction était très utile, et pouvait être approfondie.

La réponse à la question n'est pas liée à la résolution des équations quadratiques, mais plutôt à la résolution de l'intersection d'une équation cubique et d'une droite. Le mathématicien Cardan effectua la résolution des équations cubiques avec une méthode ingénieuse - comme les formules quadratiques, il existe aussi une formule qui nous donne les racines des équations cubiques, bien qu'elles soient de loin plus compliquées. Essentiellement, nous pouvons exprimer la solution d'une équation cubique $x^{3}=3px+2q\,$ sous la forme

$x={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}-p^{3}}}}}$

Une expression plutot barbare !

Vous devriez être capable de voir vous-même que la droite $y=3px+2q\,$ doit toujours couper la courbe cubique $y=x^{3}\,$. Mais essayez de résoudre l'équation où $q^{2}<p^{3}$, et vous aurez un problème - c'est à dire que vous serez obligés de traiter avec la racine carrée d'un nombre négatif. Mais, nous savons qu'en fait, il existe une solution pour x ; par exemple, $x^{3}=15x+4\,$ possède la solution x = 4.

Il devint apparent au mathématicien Bombelli qu'il y avait certaines pièces manquantes au puzzle - quelque chose qui exprimait comment cette opération d'extraction de racine carrée de nombre négatif, contraire au bon sens, se simplifiait simplement à une réponse comme 4. Ceci fut en fait la motivation pour considérer les nombre imaginaires, et cela ouvrit un domaine fascinant des mathématiques.

Le domaine des nombres complexes est dominé par ce nombre i. Puisque ce nombre n'existe pas dans le monde réel, et vit seulement dans notre imagination, nous l'appelons l'unité imaginaire. (Noter que $i\,$ n'est pas choisi comme nom de variable pour cette raison).

L'unité imaginaire

Comme mentionné ci-dessus

${\begin{matrix}i^{2}&=&-1\end{matrix}}$.

Calculons quelques puissances de i :

${\begin{matrix}i^{1}&=&i\\i^{2}&=&-1\\i^{3}&=&-i\\i^{4}&=&1\\i^{5}&=&i\\i^{6}&=&-1\\&{\mbox{...}}&\end{matrix}}$

De façon générale : $i^{2k}=(-1)^{k}$ et $i^{2k+1}=(-1)^{k}i$ avec $k\in \mathbb {Z}$

Comme vous pouvez le voir, il existe un motif.

Exercices

Exercices

1. calculer $i^{25}$
2. Calculer $i^{100}$
3. Calculer $i^{1000}$

---

Solution

1. Il suffit de constater sur la liste précédente qu'il y a une périodicité d'ordre 4 dans les puissances de $i$ (en fait, cela est dû à ce que $i$ est racine primitive quatrième de l'unité). Or tout entier naturel $n$ se décompose d'exactement une manière en l'une des quatre formes : $4\,k,\,4\,k+1,\,4\,k+2$ ou $4\,k+3$, avec $k\in \mathbb {N}$. Dans ces conditions, on a : $\forall k\in \mathbb {N} ,\,i^{4\,k}=1,\;i^{4\,k+1}=i,\;i^{4\,k+2}=-1,\;i^{4\,k+3}=-i$.
2. Pour $i^{25}$, on cherche à décomposer 25 sous cette forme, il vient $25=4*6+1$, d'où $k=1$, et $i^{25}=i$.
3. Pour $i^{100}$, il vient $100=4*25+0$, d'où $k=0$, et $i^{100}=1$.
4. Pour $i^{1000}$, il vient $1000=4*250+0$, d'où $k=0$, et $i^{1000}=1$.

Les nombres complexes comme solutions des équations quadratiques

Considérons l'équation quadratique :

${\begin{matrix}x^{2}-6x+13&=&0\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {36-4\times 13}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {16}}}{2}}\\x&=&{\frac {6\pm 4i}{2}}\\x&=&3+2i\ ,\ 3-2i\\\end{matrix}}$

Le x que nous obtenons comme solution est ce que nous appelons un nombre complexe. (pour être précis, l'ensemble de solution de cette équation possède deux nombres complexes, toutes deux valides pour x.) Elle consiste en deux parties : une partie réelle : 3 et une partie imaginaire: $\pm 2$. Appelons la partie réelle a et la partie imaginaire b; alors la somme $a+bi=3\pm 2i\,$ est un nombre complexe.

Noter qu'en définissant simplement la racine carrée de moins un, nous nous sommes déjà donné la capacité d'assigner une valeur à une équation quadratique plus compliquée et que l'on avait prévue insolvable. Il apparaît que 'toute' équation polynômiale de degré $n$ possède exactement $n$ zéros si nous admettons les nombres complexes; ceci est appelé le Théorème fondamental de l'algèbre.

Nous notons la partie réelle par Re. C.a.d. :

$\mathrm {Re} (x)=3\,$

et la partie imaginaire par Im. C.a.d. :

$\mathrm {Im} (x)=\pm 2\,$

Vérifions pour voir si $x=3+2i\,$ est réellement la solution de l'équation :

${\begin{matrix}x&=&3+2i&\\x^{2}&=&(3)^{2}+2(3)(2i)+(2i)^{2}\\&=&5+12i\\x^{2}-6x+13&=&5+12i-6(3+2i)+13\\&=&0\\\end{matrix}}$

Exercices :

1. Vérifiez vous-même que x = 3 - 2i est aussi une solution de l'équation.
2. Placez les points A(3, 2) et B(3, -2) sur un plan XY. Tracez un segment entre l'origine et chaque point.
3. Calculer la longueur de AO (la distance du point A à l'origine) et BO. Notez-les par $r_{1}\ {\mbox{et}}\ r_{2}$ respectivement. Qu'observez-vous ?
4. Calculez l'angle entre chaque segment et l'axe x et notez-les par $\varphi _{1}\ {\mbox{et}}\ \varphi _{2}$. Qu'observez-vous ?
5. Considérez les nombres complexes :

${\begin{matrix}z&=&r_{1}\cdot (\cos {\varphi _{1}}+i\sin {\varphi _{1}})\\w&=&r_{2}\cdot (\cos {\varphi _{2}}+i\sin {\varphi _{2}})\\\end{matrix}}$

Substituez z et w dans l'équation quadratique ci-dessus en utilisant les valeurs que vous avez calculées dans les exercices 3 et 4. Qu'observez-vous ? Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ?

Arithmétique des nombres complexes

Addition et multiplication

Cela est assez intuitif, illustrons cela avec quelques exemples :

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&7+11i\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}x+y&=&(3+7)+(-2+11)i\\&=&10+9i\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}x\times y&=&(3-2i)(7+11i)\\&=&3\cdot 7+3\cdot 11i-2i\cdot 7-2\cdot 11i^{2}&=&43+19i\end{matrix}}$

Résumons les résultats :

• Lorsque l'on additionne les nombres complexes, nous additionnons les parties réelles avec les parties réelles, et les parties imaginaires avec les parties imaginaires.
• Lorsque l'on multiplie deux nombres complexes ensemble, nous utilisons le développement normal. Si nous voyons $i^{2}\,$, nous mettons -1 à sa place, puis nous regroupons les termes de même type.

Mais comment calculons-nous :

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$. Notez que la racine carré est seulement sur le 5 et non sur le i.

Exercices :

${\begin{matrix}x&=&3-2i\\y&=&3+2i\end{matrix}}$

Calculer :

1. x + y
2. x - y
3. x²
4. y²
5. xy
6. (x + y)(x - y)

Division

Une manière de calculer :

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}$

est de rendre rationnel le dénominateur :

${\frac {1}{2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{(2{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}}={\frac {2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{10}}$

En utilisant une idée similaire, calculer

${\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

nous rendons réel le dénominateur.

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}$

$z\ =\ {\frac {3+2i}{7-{\sqrt {5}}i}}\times {\frac {7+{\sqrt {5}}i}{7+{\sqrt {5}}i}}$

Le dénominateur est la somme de deux carrés. Nous obtenons :

$z\ =\ {\frac {(3+2i)\times (7+{\sqrt {5}}i)}{49+5}}$

$z\ =\ {\frac {21-2{\sqrt {5}}}{54}}+{\frac {14+3{\sqrt {5}}}{54}}i$

Si nous pouvons toujours trouver un nombre complexe dont le produit avec le dénominateur est un nombre réel, alors, il est facile d'effectuer les divisions.

Si

$z\ =\ a+ib$

et

$w\ =\ a-ib$

Alors zw est un nombre réel. Cela est vrai pour tout 'a' et 'b' (tant qu'ils sont des nombres réels).

Exercices

Vérifiez vous-même que le produit zw est toujours un nombre réel.

Conjugué complexe

Ceci conduit à l'idée de conjugués. Par exemple, le conjugué de 2 + 3i est 2 - 3i. Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel. Si z est un nombre complexe, alors son conjugué est noté ${\bar {z}}$. Symboliquement si

z = a + ib

alors,

${\bar {z}}=a-ib$

Le conjugué de 3 - 9i est 3 + 9i.

Le conjugué de 100 est 100.

Le conjugué de 9i - 20 est -20 - 9i.

Lois de conjuguaison

${\begin{matrix}x&=&z&+&w\\{\bar {x}}&=&{\bar {z}}&+&{\bar {w}}\\\\x&=&z&\times &w\\{\bar {x}}&=&{\bar {z}}&\times &{\bar {w}}\\\end{matrix}}$

Considérons cet exemple :

${\begin{matrix}z&=&3+2i\\w&=&89-100i\\\\x&=&z+w\\&=&92-98i\\{\bar {x}}&=&92+98i\\\\{\bar {z}}+{\bar {w}}&=&(3-2i)+(89+100i)\\&=&92+98i\\&=&{\bar {x}}\end{matrix}}$

Ceci confirme la loi d'addition des conjugués.

Exercice

Vérifiez vous-même que la loi de multiplication est aussi vraie.

La racine complexe

Maintenant que vous êtes équipé avec toutes les bases des nombres complexes, vous pouvez aborder un chapitre un peu plus difficile, la recherche des racines.

Considérons la question :

${\begin{matrix}z&=&-3+4i\\w&=&{\sqrt {z}}\end{matrix}}$

Exprimer w sous la forme a + ib.

Ceci est assez facile.

${\begin{matrix}w&=&{\sqrt {z}}\\w^{2}&=&z\\w&=&a+ib\\w^{2}&=&a^{2}-b^{2}+2abi\\\\-3&=&a^{2}-b^{2}&{\mbox{(1)}}&\\4&=&2ab&{\mbox{(2)}}&\\\end{matrix}}$

Résolvez (1) et (2) simultanément pour extraire a et b.

info -- Rechercher les racines carrées

Rechercher la racine d'un nombre réel est un problème très difficile. La plupart des gens ne peuvent pas trouver une estimation de ${\sqrt {2}}\,$ sans l'aide d'un calculateur. Beaucoup de programmeurs, après des années de travail sur ordinateur, n'ont encore aucune idée de la manière dont le calculateur le fait. La méthode moderne d'approximation de racines implique la compréhension d'une partie des mathématiques appelée le développement des séries de Taylor. Le chapitre est généralement couvert la première année d'enseignement supérieur car il requiert une compréhension élémentaire d'une branche importante des mathématiques appelée l'analyse.

La méthode Newton-Raphson de recherche de racines est aussi utilisée de manière extensive pour cet usage.

Maintenant, considérons le problème

${\begin{matrix}z&=&-2+2i\\w&=&z^{1/3}\end{matrix}}$

Exprimer w sous la forme "a + ib".

En utilisant la méthode développée ci-dessus, nous effectuons,

${\begin{matrix}w&=&z^{1/3}\\w^{3}&=&z\\\\w&=&(a+ib)\\w^{3}&=&(a^{2}-b^{2}+2abi)\times (a+ib)\\z&=&(a^{3}-3ab^{2})+i(3a^{2}b-b^{3})\\\\-2&=&a^{3}-3ab^{2}\qquad (1)\\2&=&3a^{2}b-b^{3}\qquad (2)\\\end{matrix}}$

Il apparaît que le système d'équations (1) & (2) est difficile à résoudre. Il existe une manière facile de calculer les racines de nombres complexes appelée le théorème de De Moivre. Avant de le voir, essayez ces exercices.

Exercices

1. Trouver $(3+3i)^{\frac {1}{2}}\,$
2. Trouver $(1+1i)^{\frac {1}{2}}\,$
3. Trouver $i^{\frac {1}{3}}\,$

Le plan complexe

Les nombres complexes comme paires ordonnées

On peut noter, à ce niveau, que chaque nombre complexe a+bi, peut être précisé complètement avec exactement deux nombres réels : la partie réelle a, et la partie imaginaire b. Ceci est vrai pour chaque nombre complexe ; par exemple, le nombre 5 possède la partie réelle 5 et la partie imaginaire 0, tandis que le nombre 7i possède la partie réelle 0 et la partie imaginaire 7. Nous pouvons nous servir de cet avantage pour adopter un schéma alternatif d'écriture des nombres complexes : nous pouvons les écrire comme des paires ordonnées, sous la forme (a, b) à la place de a+bi.

${\begin{matrix}5+4i&(5,4)\\3i&(0,3)\\{\frac {4+5i}{3}}&({\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}})\\42&(42,0)\\{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}i&({\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\\\end{matrix}}$

Cela paraît plus familier : elles sont exactement les paires ordonnées que nous utilisons pour représenter les points dans le plan. En fait, nous pouvons les utiliser pour cet usage; le plan qui en résulte est appelé le plan complexe. Nous appellerons l'axe des abscisses l' axe réel, et l'axe des ordonnées l' axe imaginaire.

Le plan complexe

Nous pouvons voir à partir de ce qui précède qu'un nombre complexe unique est un point dans le plan complexe. Nous pouvons aussi représenter des ensembles de nombres complexes; ceux-ci forment des régions du plan. Par exemple, l'ensemble

$\{a+bi|-1\leq a\leq 1,-1\leq b\leq 1\}$

est un carré de côté 2 centré sur l'origine.

Fonctions à valeurs complexes

De la même manière que nous pouvons utiliser des fonctions qui à partir de valeurs réelles ont des valeurs réelles, nous pouvons créer des fonctions à partir de nombres complexes vers les nombres réels, ou à partir de nombres complexes vers les nombres complexes. Ces dernières fonctions sont souvent appelées fonctions à valeurs complexes, parce que leur valeur de sortie est un nombre complexe; il est implicite que leur argument est complexe.

Puisque les fonctions à valeurs complexes appliquent des nombres complexes vers d'autres nombres complexes, et nous déjà vu que les nombres complexes correspondent aux points du plan complexe, nous pouvons voir que les fonctions à valeurs complexes peuvent convertir des régions du plan complexe en d'autres régions. Un exemple simple : la fonction

$f(z)=z+(0+1i)\,$

prend un point dans le plan complexe et l'augmente de 1. Si nous l'appliquons à l'ensemble de points du carré ci-dessus, elle le déplacera de un verticalement, c'est à dire qu'il "reste" sur l'axe réel.

Théorème de De Moivre

Si
${z=re^{i\theta }=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}\,$
alors
${z^{n}=r^{n}(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))}\,$

Racines complexes de l'unité

Les racines complexes de l'unité de degré n est l'ensemble de solutions de l'équation $x^{n}=1\,$. Elles sont toutes de module 1. Elles forment un groupe cyclique multiplicatif. Pour tout n donné, il existe exactement n racines, et elles forment un polygone à n côtés régulier dans le plan complexe muni du cercle unité.

Une forme réduite de ces solutions peut être donnée en utilisant la formule d'Euler :

$u^{n}=\cos \left({\frac {2j\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2j\pi }{n}}\right),\quad 0\leq j<n\,$

La somme des racines n-èmes de l'unité est égale à 0, excepté pour n=1, où elle est égale à 1.

Le produit des racines n-èmes de l'unité alterne entre -1 et 1.

Ensemble de problèmes

...à écrire

Règles de calcul formalisées

Si   $z=x+iy\,$   et   $z'=x'+iy'\,$,   il est ainsi possible de généraliser l'addition et la multiplication des nombres réels par :

$z+z'=(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i.(y+y')\,$

et

$z\times z'=(x+iy)\times (x'+iy')=(xx'-yy')+i.(xy'+x'y)\,$

$\mathbb {C}$ muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le corps des nombres complexes.

En présentation vectorielle cartésienne $z=(x,y)\,$

Il est possible d'identifier le couple (x, y) des coordonnées cartésiennes d'un point M du plan ou du vecteur ${\overrightarrow {OM}}\,$   au nombre complexe x + i y appelé alors affixe du point M ou du vecteur ${\overrightarrow {OM}}\,$, et noté « (x, y) » (notation vectorielle cartésienne).

L'affixe de la somme de deux vecteurs est alors la somme des affixes de ces deux vecteurs. l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire.

En fait, il existe un isomorphisme canonique entre $\mathbb {C}$ muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel et le plan vectoriel réel.

($\mathbb {C}$, +, .) est donc un espace vectoriel de dimension deux sur $\mathbb {R}$. Cela permet de représenter $\mathbb {C}$ par un plan muni de deux axes : l'axe  $\mathbb {R}$ des nombres réels et l'axe  i$\mathbb {R}$ des nombres imaginaires purs.

Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens concret donner à ce produit.

Bref, si   $z=(x,y)\,$   et   $z'=(x',y')\,$,   nous avons :

$z+z'=(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\,$

et :   $z.z'=(x,y).(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)\,$

Nous pouvons remarquer que (0, 1).(0, 1) = (-1, 0) = -1.   En fait, (0, 1) = i.

En présentation vectorielle polaire $z=(\rho ,\theta )=\rho _{\angle }\theta \,$

Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle rectangle dont OM est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de M, d'où (théorème de Pythagore) :

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\,$

D'autre part, comme θ est justement l'angle entre OM et le côté horizontal (définition trigonométrique des fonctions sinus et cosinus) :

$cos\theta =x/\rho \,$   et   $sin\theta =y/\rho \,$

On obtient ainsi les formules de passage :

• de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$

$\theta =Arctg(y/x)\,$

• et de la forme trigonométrique à la forme algébrique :

$x=\rho .cos\theta \,$

$y=\rho .sin\theta \,$

Donc, si   $z=\rho _{\angle }\theta \,$   et   $z'=\rho '_{\angle }\theta '\,$,   nous avons :

$z+z'=\rho _{\angle }(\theta )+\rho '_{\angle }(\theta ')\,$

$={\sqrt {(\rho +\rho ')^{2}-2\rho \rho '(1-cos(\theta '-\theta ))}}_{\angle }(Arctg(\phi ))\,$

avec :$\phi =(\rho .sin\theta +\rho '.sin\theta ')/(\rho .cos\theta +\rho '.cos\theta ')\,$

et

$z.z'=\rho _{\angle }(\theta ).\rho '_{\angle }(\theta ')=\rho .\rho '_{\angle }(\theta +\theta '[2\pi ])\,$

Au vu de la complexité de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.

En présentation trigonométrique $z=\rho .(\cos \theta +i.\sin \theta )\,$

Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :

$z=x+iy=\rho .\cos \theta +i\rho .\sin \theta =\rho .(\cos \theta +i.\sin \theta )\,$

Il est possible de montrer par récurrence sur n et en utilisant les formules d'addition des sinus et des cosinus :

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha .\cos \beta +\sin \beta .\cos \alpha \,$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha .\cos \beta -\sin \alpha .\sin \beta \,$

que :

$(\cos \theta +i.\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i.\sin(n\theta )\,$   (formule de « de Moivre - Laplace »)

En présentation géométrique $z=\rho .e^{i\theta }\,$

Introduction

Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de même période 2π. Par conséquent, si on définit la fonction F de θ par :

$F(\theta )=cos\theta +i.sin\theta \,$

F est une fonction périodique de θ, de période 2π.

La formule de de Moivre - Laplace exprimée en fonction de F donne :

$F^{n}(\theta )=F(\theta ^{n})\,$

F est donc une puissance en θ, c'est-à-dire de forme K^θ, où K reste à déterminer.

Calculons la dérivée de F. D'une part :

$F'(\theta )=cos'\theta +i.sin'\theta =-sin\theta +i.cos\theta =i.(cos\theta +i.sin\theta )=i.F(\theta )\,$

et d'autre part :

$F'(\theta )=(K^{\theta })'=(e^{Ln(K^{\theta })})'=(e^{\theta .Ln(K)})'=e^{\theta .Ln(K)}.(\theta .Ln(K))'\,$

ou :$F'(\theta )=K^{\theta }.Ln(K)=Ln(K).F(\theta )\,$

D'où, en rapprochant les deux expressions obtenues pour la dérivée de F :

$Ln(K)=i\,$.

Si on veut être rigoureux, le logarithme n'est défini que pour des nombres réels. On peut étendre cette définition aux nombres complexes, mais des précautions (trop compliquées pour être détaillées ici) doivent être prises. C'est pourquoi ce qui suit n'est pas une démonstration, mais seulement une justification de l'égalité à laquelle on va aboutir.

La fonction e ^x , où e désigne la base des logarithmes népériens et vaut environ 2,71828..., est la fonction réciproque du logarithme népérien Ln(x), d'où, formellement :

$K=e^{i}\,$.

et :

$F(\theta )=K^{\theta }=(e^{i})^{\theta }=e^{i\theta }\,$

On en déduit que :

$cos\theta +i.sin\theta =e^{i\theta }\,$

Dans ces conditions : $z=\rho .e^{i\theta }\,$ (notation géométrique), où ρ est le module de z et θ son argument.

Règles de calcul

Donc, si   $z=\rho .e^{i\theta }\,$   et   $z'=\rho '.e^{i\theta '}\,$,   nous avons :

$z+z'=\rho .e^{i\theta }+\rho '.e^{i\theta '}\,$

$={\sqrt {(\rho +\rho ')^{2}-2\rho \rho '(1-cos(\theta '-\theta ))}}.e^{i.Arctg(\phi )}\,$

avec :$\phi =(\rho .sin\theta +\rho '.sin\theta ')/(\rho .cos\theta +\rho '.cos\theta ')\,$

et

$z.z'=\rho .e^{i\theta }.\rho '.e^{i\theta '}=\rho .\rho '.e^{i.(\theta +\theta '[2\pi ])}\,$

Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.

En présentation matricielle $Z={\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho &0\\0&\rho \end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\,$ =

Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme

$z.z'=\rho _{\angle }(\theta ).\rho '_{\angle }(\theta ')=\rho .\rho '_{\angle }(\theta +\theta '[2\pi ])\,$

Mais quel sens concret, par exemple géométrique, peut-on donner à cette formule ?

Considérons  z'   comme un vecteur. Le multiplier par un nombre réel ρ revient à lui appliquer une homothétie vectorielle de rapport ρ. La matrice d'une telle homothétie est de la forme :

${\begin{bmatrix}\rho &0\\0&\rho \end{bmatrix}}=\rho .{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=\rho I\,$

I est la matrice de l'application Identité (ou matrice d'une rotation d'angle nul).

Multiplier z' par un nombre complexe de module unité et d'argument θ a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle θ. La matrice d'une telle rotation est de la forme :

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &cos\theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin \theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}=\cos \theta I+\sin \theta J\,$

J est la matrice de la rotation d'un quart de tour.

L'addition des matrices carrées d'ordre deux correspond à celle des applications linéaires planes, et la multiplication des mêmes matrices à la composition des mêmes applications.

Par conséquent, multiplier un nombre complexe  z'   par un autre nombre complexe  z  de module  ρ  et d'argument  θ  revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport ρ et d'une rotation vectorielle d'angle θ, c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle θ et de rapport ρ. La matrice d'une telle similitude est de la forme :

$\rho I.(\cos \theta I+\sin \theta J)=\rho \cos \theta I+\rho \sin \theta J=xI+yJ={\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}\,$

Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc  - I.   On vérifie que :

- la composée de deux rotations d'un demi-tour est une rotation d'un tour entier, ce qui revient à ne pas tourner, c'est-à-dire à une rotation d'angle nul. En d'autres termes :  - I ² = I

- la composée de deux rotations d'un quart de tour donne un demi-tour, ou en d'autres termes :  J ² = - I.

On peut ainsi identifier  I  à 1 et  J  à  i. En sens inverse, nous pouvons considérer :

• i  comme une rotation d'un quart de tour,
• -1   comme une rotation d'un demi-tour,
• et 1   comme une rotation d'angle nul.

Les réels positifs sont alors les homothéties dont ils sont le rapport. Plus généralement, le nombre complexe ρ.e^iθ représente la similitude d'angle θ et de rapport ρ, c'est-à-dire la composée de la rotation d'angle θ et de l'homothétie de rapport ρ.

Si on applique la similitude correspondant à Z à un vecteur d'affixe z, l'affixe du vecteur résultant est tout simplement le produit   Z . z ..

= Résolution d'équations polynomiales dans $\mathbb {C}$

Dans tout ce qui suit, on suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est toujours non nul.

Équation monômiales

Équations de la forme :

$az^{n}=0\,$

0 racine évidente de multiplicité n, sauf si n = 0. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.

Équations binomiales

Équations de la forme :

$az^{n}+b=0\,$

Si b = 0, l'équation est monômiale. Sinon, se met sous la forme dite réduite :

$z^{n}=-b/a=Z$

résolution en mettant les nombres sous forme géométrique et en séparant modules et arguments.

Équations à trois monômes ou plus

Il n'existe pas de méthode algébrique générale de résolution de ces équations (On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...). Néanmoins, il existe des méthodes quand le degré de l'équation est assez faible (inférieur à 5) ou que celle-ci présente certaines régularités (c'est Évariste Galois qui a déterminé la méthode générale indiquant si une équation donnée est soluble algébriquement (« par radicaux ») ou non).

Équations du second degré

Équations de la forme :

$az^{2}+bz+c=0\,$

• $\delta =b^{2}-4ac=\omega ^{2}$

avec $\omega =\alpha +i\beta$

• alors $(\alpha +i\beta )^{2}=\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2i\alpha \beta =b^{2}-4ac$
• par identification $\alpha ^{2}-\beta ^{2}=Re(\delta )$
• et $2\alpha \beta =Im(\delta )$
• et leurs modules sont égaux $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=|\delta |$
• et de ces 3 équations on peut déduire $\alpha$ et $\beta$

Équations du troisième degré

Équations de la forme :

$az^{3}+bz^{2}+cz+d=0\,$

Équations du quatrième degré

Équations de la forme :

$az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0\,$

Équations polyalgébriques

C'est la généralisation des équations bicarrées. Ce sont des équations polynômiales dont les monômes sont d'ordre kp + m, avec p et m donnés et k < 5. On résout ces équations en divisant les deux membres par z ^m (0 racine évidente de multiplicité m), puis en opérant le changement de variable Z = z ^p . On obtient une équation en Z de degré inférieur ou égal à 4, que l'on sait résoudre.

Les racines n-ièmes

Exemple :

$z^{n}=1$
$1=e^{2ik\pi }$
Donc $z_{k}=e^{\frac {2ik\pi }{n}}$ avec $k=\{0,1,2,3,...,n-1\}$