Théorème fondamental de l'algèbre

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Le théorème de d'Alembert-Gauss, simplement appelé théorème de d'Alembert ou encore théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante :

« Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps des nombres complexes a au moins une racine dans  ».

En d'autres termes, le corps des nombres complexes est algébriquement clos. On en déduit facilement que tout polynôme de degré est scindé, c'est-à-dire qu'il se factorise en produit de polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement racines (en tenant compte des ordres de multiplicité).

Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Albert Girard. Jean le Rond d'Alembert en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du XIXe siècle.

La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse.

Une preuve très concise repose sur le théorème de Liouville en analyse complexe. À cet effet, on considère un polynôme P à coefficients complexes, de degré au moins égal à 1. On suppose qu'il n'a aucune racine : dès lors, la fonction rationnelle 1 / P est entière et bornée (car elle tend vers 0 à l'infini) ; du théorème de Liouville, on déduit qu'elle est constante, ce qui contredit l'hypothèse sur le degré, et prouve ainsi par l'absurde l'existence d'au moins une racine de P.

Autre démonstration

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Soit   un polynôme de degré strictement positif à coefficients complexes.
Notons:  , pour   dans   et  .
D'après l'inégalité triangulaire, on a:  
On en déduit que:  
Notons  . Il existe alors un réel   tel que pour tout   on a  .
On en déduit que  .
Le disque   étant compact, il existe un nombre complexe   de ce disque où la borne inférieure est atteinte. On a donc  . Il ne reste plus qu'à montrer que   pour terminer la démonstration.
Supposons que ce n'est pas le cas.
Notons  
Soit   le plus petit indice non nul tel que  . Et soit   une racine k-ième de  .
Notons:  .
Alors pour   , on a:
 
D'après l'inégalité triangulaire, on a:
 
Donc pour  , on a:
 
Étant donné que pour tout  ,  , on a  .
Par conséquent, quand   tout en restant positif, le second membre devient strictement négatif car   par hypothèse. Donc  . Ce qui est absurde d'après la définition de  .   est donc une racine de  .

Voir aussi

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Bibliographie

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  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, (ISBN 0-387-94657-8)