Théorème fondamental de l'algèbre

Le théorème de d'Alembert-Gauss, simplement appelé théorème de d'Alembert ou encore théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante :

« Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes a au moins une racine dans $\mathbb {C}$ ».

En d'autres termes, le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes est algébriquement clos. On en déduit facilement que tout polynôme de degré $n>0$ est scindé, c'est-à-dire qu'il se factorise en produit de $n$ polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement $n$ racines (en tenant compte des ordres de multiplicité).

Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Albert Girard. Jean le Rond d'Alembert en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du XIX^e siècle.

La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse.

Une preuve très concise repose sur le théorème de Liouville en analyse complexe. À cet effet, on considère un polynôme P à coefficients complexes, de degré au moins égal à 1. On suppose qu'il n'a aucune racine : dès lors, la fonction rationnelle 1 / P est entière et bornée (car elle tend vers 0 à l'infini) ; du théorème de Liouville, on déduit qu'elle est constante, ce qui contredit l'hypothèse sur le degré, et prouve ainsi par l'absurde l'existence d'au moins une racine de P.

Autre démonstration

Soit $P\,$ un polynôme de degré strictement positif à coefficients complexes.
Notons: $P(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\,$, pour $z\,$ dans $\mathbb {C}$ et $n>0\,$.
D'après l'inégalité triangulaire, on a: $\mid P(z)\mid \geq \mid z\mid ^{n}(\mid a_{n}\mid -\sum _{k=0}^{n-1}\mid a_{k}\mid \mid z\mid ^{k-n})\,$
On en déduit que: $\lim _{\mid z\mid \to +\infty }\mid P(z)\mid =+\infty$
Notons $m=inf_{z\in \mathbb {C} }\mid P(z)\mid$. Il existe alors un réel $R\,$ tel que pour tout $z\in \mathbb {C} ,\mid z\mid >R,$ on a $\mid P(z)\mid >2m\,$.
On en déduit que $m=inf_{\mid z\mid \leq R}\mid P(z)\mid$.
Le disque $D(O,R)\,$ étant compact, il existe un nombre complexe $z_{0}\,$ de ce disque où la borne inférieure est atteinte. On a donc $m=\mid P(z_{0})\mid$. Il ne reste plus qu'à montrer que $m=0\,$ pour terminer la démonstration.
Supposons que ce n'est pas le cas.
Notons $Q(z)=P(z_{0}+z)=b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{n}z^{n},pourz\in \mathbb {C}$
Soit $k\,$ le plus petit indice non nul tel que $b_{k}\neq 0$. Et soit $z_{1}\,$ une racine k-ième de $-b_{k}\,$.
Notons: $b_{0}=\mid P(z_{0})\mid e^{i\theta }\,$.
Alors pour $z=r^{\frac {1}{k}}\mid P(z_{0})\mid ^{\frac {1}{k}}z_{1}^{-1}e^{\frac {i\theta }{k}}$ où $r>0\,$, on a:
$Q(z)=b_{0}-b_{0}r+\sum _{l=k+1}^{n}b_{l}z^{l}$
D'après l'inégalité triangulaire, on a:
$\mid Q(z)\mid \leq \mid b_{0}\mid \mid 1-r\mid +\mid \sum _{l=k+1}^{n}b_{l}z^{l}\mid$
Donc pour $0<r<1\,$, on a:
$\mid Q(z)\mid -\mid b_{0}\mid \leq r(-\mid b_{0}\mid +\mid \sum _{l=k+1}^{n}b_{l}r^{\frac {l-k}{k}}z_{1}^{-l}\mid P(z_{0})\mid ^{\frac {l}{k}}e^{\frac {il\theta }{k}}\mid )$
Étant donné que pour tout $l\in \{k+1,\ldots ,n\}$, ${\frac {l-k}{k}}>0$, on a $\lim _{r\to 0}\mid \sum _{l=k+1}^{n}b_{l}r^{\frac {l-k}{k}}z_{1}^{-l}\mid P(z_{0})\mid ^{\frac {l}{k}}e^{\frac {il\theta }{k}}\mid =0$.
Par conséquent, quand $r\to 0$ tout en restant positif, le second membre devient strictement négatif car $\mid b_{0}\mid >0$ par hypothèse. Donc $\mid Q(z)\mid <\mid b_{0}\mid =m$. Ce qui est absurde d'après la définition de $m\,$. $z_{0}\,$ est donc une racine de $P\,$.

Voir aussi

• Factorisation des polynômes
• Équation polynomiale
• Équation du second degré
• Théorème de Gauss
• Il existe une preuve presque purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre, valable dans tout corps réel clos (elle utilise seulement le fait, découlant du théorème des valeurs intermédiaires, que tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède une racine réelle). Voir Alain Bouvier & Denis Richard, Éditeur Hermann, (ISBN 2-7056-1383-8) (Ouvrage épuisé).

Bibliographie

• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, (ISBN 0-387-94657-8)