Utilisateur:Savant-fou/Maths 4e/Multiplication et division de nombres relatifs

En classe de cinquième, nous avons apprit ce qu'est un nombre relatif. Ce sont les nombres qui comportent un signe : positif (+) ou négatif (-). On peut les représenter sur une droite graduée : les nombres négatifs sont en-dessous de zéro, les nombres positifs sont au-dessus de zéro. Nous avions vu comment les additionner et les soustraire.

Rappels de cinquième

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Addition de nombres relatifs

  • Si les deux nombres sont de mêmes signes, on obtient le résultat en gardant le signe et en en ajoutant les « valeurs » sans signe. Exemple :   ; les deux nombres sont de signe « - », donc le résultat sera de signe « - » et vaudra  .
  • Si les deux nombres sont de signes différents, on obtient le résultat en gardant le signe de la plus grande « valeur » et en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande. Exemple :   ; les deux nombres sont de signes différents. 8 est plus grand que 2, donc le résultat sera du signe de -8, à savoir « - ». Le résultat est  


Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : 5+(-2). L'opposé de (-2) est 2. On fait donc   et le résultat est  .

Multiplication de nombres relatifs

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Pour effectuer le produit de deux nombres relatifs, on effectue le produit des distances à zéro des deux facteurs. On attribue le signe du résultat d'après la règle des signes.

Règle des signes

  • Le produit de deux nombres de mêmes signes est positif.
  • Le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple, prenons le produit   : les deux facteurs sont de même signe, donc le résultat sera positif et vaudra  . Prenons à présent le produit   : les deux facteurs sont de signes différents, donc le résultat sera négatif et vaudra  .

Propriétés de la multiplication

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La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.

La multiplication, notée  , a les propriétés suivantes :

  • on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le résultat. Ainsi   ;
  • le produit d'un nombre par 1 donne ce nombre. Ainsi   ;
  • le produit d'un nombre par 0 donne 0. Ainsi  .

La multiplication a également la propriété d'être distributive sur l'addition et la soustraction. Soient   des nombres relatifs. Dans le calcul  , on peut distribuer le   sur   et  . Ainsi, on a les résultats suivants :

 

 

Multiplication par

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Multiplier par  , c'est prendre l'opposé du nombre. Ainsi,  . Par exemple,   ou encore  .

Produits de plusieurs facteurs

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Considérons un produit de plusieurs facteurs, par exemple   ou encore  . Quel est le signe de cette expression ? Cela va dépendre du nombre de signes « - » et du nombre de signes « + », car on sait que les signes « - » s'annulent deux par deux pour donner un signe positif. On utilise la règle des signes.

Règle des signes

  • Le produit est négatif lorsque le nombre de facteurs négatifs est impair ;
  • Le produit est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair.

Notons que d'après ce qui précède, le carré de tout nombre relatif est positif : quelque soit le nombre relatif  ,  . De plus, le cube de tout nombre négatif est négatif : quelque soit le nombre négatif  ,  .

Division de nombres relatifs

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Soient   et   deux nombres relatifs ( ), le nombre qui, multiplié par   donne   est le quotient  . Ainsi, si  , alors  . Le signe du quotient est donné par la règle des signes.

Règle des signes

  • Le quotient de deux nombres de mêmes signes est positif.
  • Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

Par exemple,  , ou encore  .

Exercices

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Additions et soustractions de nombres relatifs

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Distributivité

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Multiplications de nombres relatifs

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Divisions de nombres relatifs

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