Utilisateur:Savant-fou/Maths 4e/Multiplication et division de nombres relatifs
En classe de cinquième, nous avons apprit ce qu'est un nombre relatif. Ce sont les nombres qui comportent un signe : positif (+) ou négatif (-). On peut les représenter sur une droite graduée : les nombres négatifs sont en-dessous de zéro, les nombres positifs sont au-dessus de zéro. Nous avions vu comment les additionner et les soustraire.
Rappels de cinquième
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Addition de nombres relatifs |
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Soustraction de nombres relatifs |
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : 5+(-2). L'opposé de (-2) est 2. On fait donc et le résultat est . |
Multiplication de nombres relatifs
modifierPour effectuer le produit de deux nombres relatifs, on effectue le produit des distances à zéro des deux facteurs. On attribue le signe du résultat d'après la règle des signes.
Règle des signes |
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Par exemple, prenons le produit : les deux facteurs sont de même signe, donc le résultat sera positif et vaudra . Prenons à présent le produit : les deux facteurs sont de signes différents, donc le résultat sera négatif et vaudra .
Propriétés de la multiplication
modifierLa multiplication, notée , a les propriétés suivantes :
- on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le résultat. Ainsi ;
- le produit d'un nombre par 1 donne ce nombre. Ainsi ;
- le produit d'un nombre par 0 donne 0. Ainsi .
La multiplication a également la propriété d'être distributive sur l'addition et la soustraction. Soient des nombres relatifs. Dans le calcul , on peut distribuer le sur et . Ainsi, on a les résultats suivants :
Multiplication par
modifierMultiplier par , c'est prendre l'opposé du nombre. Ainsi, . Par exemple, ou encore .
Produits de plusieurs facteurs
modifierConsidérons un produit de plusieurs facteurs, par exemple ou encore . Quel est le signe de cette expression ? Cela va dépendre du nombre de signes « - » et du nombre de signes « + », car on sait que les signes « - » s'annulent deux par deux pour donner un signe positif. On utilise la règle des signes.
Règle des signes |
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Notons que d'après ce qui précède, le carré de tout nombre relatif est positif : quelque soit le nombre relatif , . De plus, le cube de tout nombre négatif est négatif : quelque soit le nombre négatif , .
Division de nombres relatifs
modifierSoient et deux nombres relatifs ( ), le nombre qui, multiplié par donne est le quotient . Ainsi, si , alors . Le signe du quotient est donné par la règle des signes.
Règle des signes |
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Par exemple, , ou encore .