Utilisateur:Savant-fou/Maths

Chercher $n$, un entier naturel le plus petit possible tel que :
${\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {4}}}}+...+{\frac {1}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}}}\geq 100$

Réponse

${\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}-1$

${\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}$

$...$

On ajoute chaque terme de l'inéquation.

${\sqrt {2}}-1+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}$

${\sqrt {2}}$ et $-{\sqrt {2}}$ s'annulent !

Donc l'expression de l'inéquation est égale à la somme des extremums qui ne se simplifient pas !

${\frac {1}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}}}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$

Donc l'inéquation est égale à ${\sqrt {n+1}}-1\geq 100$, et on trouve $n=10200$.

Programme en Python qui résout le problème

# -*- coding: utf8 -*-

from math import sqrt

n = 1
a = 0
b = 0

while b < 100:
    print n
    a = b
    b = (1/(sqrt(n)+sqrt(n+1))) + a
    n += 1
print b