Utilisateur:RM77/Bac a sable

Exercice 2 (DS)

Soit $f\,$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=(x-1)(2-e^{-x})\,$
On note $C\,$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})\,$.

1) a) Déterminer les limites de $f\,$ en $+\infty \,$ et en $-\infty \,$. Justifier.
b) Montrer que la droite $D\,$ d'équation $y=2x-2\,$ est asymptote à $C\,$.
c) Etudier la position relative de $C\,$ et $(D)\,$.

2) Soit la fonction $g\,$ définie sur $\mathbb {R}$ par $g(x)=xe^{-x}-2e^{-x}+2\,$
a) Calculer $g'(x)\,$ et étudier son signe sur $\mathbb {R}$.
b) Calculer $\lim _{x\to +\infty }\ g(x)$ et $g(0)\,$.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction $g\,$ et en déduire son signe sur $\mathbb {R}$.

3)
a) Calculer $f'(x)\,$.
b) Déduire du 2) le signe de $f'(x)\,$ sur $\mathbb {R}$
c) Préciser la valeur de $f'(0)\,$, puis établir le tableau de variations de $f\,$ sur $\mathbb {R}$.

4) Déterminer les coordonnées du point $A\,$ de $C\,$ où la tangente $(T)\,$ à $C\,$ est parallèle à $(D)\,$.

liens pour articles

http://paquito.amposta.free.fr/symboles/symboles.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_(math%C3%A9matiques)

Exercice 4 (feuille)

$u_{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+...+{\frac {1}{n!}}=1+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}$
2) on a d'après la question 1) :
${\frac {1}{1}}\leq {\frac {1}{1}}$
${\frac {1}{2}}\leq {\frac {1}{2}}$
${\frac {1}{6}}\leq {\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{24}}\leq {\frac {1}{8}}$

$...\,$

${\frac {1}{n!}}\leq {\frac {1}{2^{n-1}}}$

En sommant, en obtient :
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}\leq 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}$
$\Leftrightarrow u_{n}\leq 2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}\leq 3$

3) démontrons que $u_{n}\,$ converge.
démontrons d'abord que $u_{n}\,$ est croissante.

$u_{n+1}-u_{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+...+{\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n+1)!}}-1-{\frac {1}{1!}}-{\frac {1}{2!}}-...-{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{(n+1)!}}\geq 0$ donc $u_{n}\,$ est croissante.

Exercice 3 (radioactivité)

On a la loi expo définie par $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}\,$
or $A(t)=-{\frac {dN}{dt}}$
donc $A(t)=-{\frac {d(N_{0}e^{-\lambda t})}{dt}}=-(-\lambda N_{0}e^{-\lambda t})=\lambda N_{0}e^{-\lambda t}$
or $A(t)=\lambda N(t)\,$ d'où $A_{0}=\lambda N_{0}\,$
on remplace dans l'expression de A(t), on obtient $A(t)=A_{0}e^{-\lambda t}\,$