Utilisateur:Quentinv57/Test

(version originale de la page sur Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Nombres complexes et trigonométrie)

Rappels sur les nombres complexes

• $\forall z\in \mathbb {C} ,Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}{\text{ et }}Im(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$
• $\mathbf {In{\acute {e}}galit{\acute {e}}~triangulaire~:~} |z+z'|\leqslant |z|+|z'|$
• $\mathrm {Pour~tous~r{\acute {e}}els~} a,b\mathrm {~v{\acute {e}}rifiant~} a^{2}+b^{2}=1\mathrm {,~il~existe~un~r{\acute {e}}el~} \theta \mathrm {~tel~que~:~} a=\cos \theta \mathrm {~et~} b=\sin \theta$

Rappels sur la trigonométrie

Dérivée des fonctions usuelles

• $\cos '(x)=-\sin(x)$
• $\sin '(x)=\cos(x)$
• $\tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

Cosinus, sinus et tangente d'une somme

• $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
• $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
• $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$
• $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
• $\tan(a+b)={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}$
• $\tan(a-b)={\frac {\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}}$

Produit de cosinus, sinus ou tangente

• $\cos(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)+\cos(a+b))$
• $\sin(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)-\cos(a+b))$
• $\sin(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
• $\cos(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)-\sin(a-b))$

Somme de cosinus, sinus ou tangente

• $\sin(p)+\sin(q)=2\sin({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})$
• $\sin(p)-\sin(q)=2\cos({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})$
• $\cos(p)+\cos(q)=2coq({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})$
• $\cos(p)-\cos(q)=-2\sin({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})$

Formules de duplication

• $\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)$
• $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$
• $\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Formules de linérisation

• $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$
• $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$

Substitution de la tangente

$\mathrm {On~pose~} t=\tan({\frac {x}{2}})$

• $\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
• $\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
• $\tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}$

Formules avancées

Formule d'Euler

• $\textstyle \cos(x)=Re(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$
• $\textstyle \sin(x)=Im(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$
• $\mathbf {Remarque~:} \mathrm {~On~utilisera~ces~deux~formules~pour~lin{\acute {e}}ariser~des~expressions~de~la~forme~} \cos ^{p}(\theta )+\sin ^{n}(\theta )$

Formule de Moivre

• $\mathrm {Soient~} \theta \in \mathbb {R} \mathrm {~et~} n\in \mathbb {N} \mathrm {,~alors~:}$
  $\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=e^{in\theta }=(e^{i\theta })^{n}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

Binôme de Newton

• $\mathrm {Rappel~:~} {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
• $\mathrm {Soient~} a,b\mathrm {~des~nombres~r{\acute {e}}els~ou~complexes~et~} n\mathrm {~un~entier~naturel}$
  $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

Application du binôme

• $\mathrm {Soient~} \theta \in \mathbb {R} \mathrm {~et~} n\in \mathbb {N} \mathrm {,~alors~:}$
  $\cos(n\theta )=\sum _{\overset {k=0}{\text{k pair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )$
  $\sin(n\theta )={\frac {1}{2}}\sum _{\overset {k=0}{\text{k impair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )$