Utilisateur:Antoinel/essai/équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x.

Exemple :
y' + y = 0
y + 2y = 0
y' - 2xy = -3

Equation différentielle du premier ordre

Définition

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.

Exemple : y' + 2y = 0

Equation différentielle linéaire du premier ordre

Définition

Touté équation différentielle du premier ordre qui peut se mettre sous la forme : A(x)y' + B(x)y = C(x) (ici avec second membre) ou A(x)y' + B(x)y = 0 (ici sans second membre) est une équation linéaire.

Exemple : 4y' + 2y = 3x + 1
y' + cos(y) = 0 n'est pas une équation linéaire.
(voir Équation linéaire)

Résolution

Equation sans second membre

xy' - y = 0

• 1ère méthode :
  xy' = y
  y'/y = 1/x
  ln(y) = ln|x| + k
  y(x) = exp(ln|x| + k)
  y(x) = Kx (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0)

Exercices

Résoudre xy' + 2y = 0

Solution

• xy' + 2y = 0
  xy' = -2y
  y'/y = -2/x
  ln(y(x)) = -2ln x + k
  y(x) = exp(-2ln(x))exp(k)
  y(x) = Kx^-2 = K/x^2

Equation différentielle du deuxième ordre

Définition

Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y et éventuellement y', y et la variable x

Exemple: xy - y = 0