Temps de traversée tunnel/Horloges des états stationnaires

Introduction

Il s'agit ici de s'intéresser aux variations des coefficients de transmission et de réflexion de la barrière tunnel en fonction du potentiel (et non plus de l'énergie des états stationnaires). Ces variations introduisent aussi un temps complexe, aux parties réelle et imaginaire duquel ont peu associer des aiguilles qui vont être découvertes ci-dessous.

L'intérêt porté à ces durées provient du désir de certains chercheurs d'éliminer quelques uns des problèmes qui apparaissent dans l'étude introduisant les délais de phase :

• l'apparition de vitesses supraluminiques dans certains cas,
• la définition d'une durée liée à l'existence d'un paquet d'ondes, en particulier à la nécessité de se référer à un sommet, ou à un centre de gravité.

Aussi s'agit-il ici de définir un (ou des processus) qui soi(en)t valable pour tous les états stationnaires, et dont la généralisation au paquet d'ondes ne soit que l'application de l'aspect probabiliste usuel de la mécanique quantique.

Le processus fait intervenir une (légère) modification du potentiel $\delta V$ sur l'espace occupé par la barrière, modification due à un couplage avec une aiguille qui indiquera le temps de traversée, ou le temps de réflexion. Un autre avantage de l'emploi du potentiel tient au fait que l'horloge peut devenir locale : il est possible de ne modifier ce potentiel que sur une petite portion de l'espace, et donc de tester l'hypothèse de l'additivité des durées.

On s'aperçoit rapidement que les calculs sont en pratique plus difficiles. En toute rigueur il faut travailler dans le cadre des dérivées fonctionnelles. Le plus simule est de commencer à travailler sur le cas d'un barrière rectangulaire simple, sur laquelle est appliquée, sur toute sa largeur, une petite variation de potentiel uniforme. Plus tard le choix sera porté sur une description multicouche, permettant de travailler dans le cadre des dérivées simples, sur des petites portions de barrière, où le potentiel, et sa petite modification, seront homogènes.

Commençons donc par évaluer les parties réelles, $\tau _{{\mathcal {T}}y}$, et imaginaire, $\tau _{{\mathcal {T}}z}$ [découvertes dans le chapitre sur les temps complexes ] dans le cas d'une barrière rectangulaire simple. Dans ce cas de barrière symétrique les composantes transmise et réfléchie sont égales... et égales au temps de séjour.

L'image située à droite représente les composantes réelle et imaginaire du temps complexe local pour un état stationnaire d'énergie 135 MeV dans le cas de la barrière de 230 meV de haut, et de largeur variable. Le comportement de ces deux temps apparaît semblable à ceux issus de l'analyse des délais de phase : en particulier, la composante réelle tend vers une valeur asymptotique en fonction de l'épaisseur.

Dans les faits l'horloge ne devient locale que si elle permet de vérifier le critère d'additivité. Pour introduire cette possibilité, il est intéressant de considérer le potentiel $V(x)>$ décrivant la barrière comme constitué d'une sérié de petite couche de potentiels successifs, homogènes, de valeur $V_{j}$, chaque couche (d'indice j) étant susceptible d'une petite variation $\delta V_{j}$ permettant le couplage avec l'horloge.

Ainsi le coefficient de transmission (resp. de réflexion) devient-il une fonction ${\mathcal {T}}(E,V_{1},\cdots ,V_{j},\cdots ,V_{N})$, permettant la définition des temps individuels, $\tau _{{\mathcal {T}}jy}$ et $\tau _{{\mathcal {T}}jz}$, tels que :

${\frac {\partial {\mathcal {T}}}{\partial V_{j}}}=-{\frac {i}{\hbar }}{\mathcal {T}}\;[\tau _{{\mathcal {T}}_{jy}}-i\tau _{{\mathcal {T}}_{jz}}]\;.$

Il est ainsi possible de définir le temps de séjour dans chacune des couches par l'équation suivante :

$\tau _{Dj}=R\;\tau _{{\mathcal {R}}_{jy}}\;+\;T\;\tau _{{\mathcal {T}}_{jy}}\;,$

permettant d'obtenir le temps de séjour dans la barrière entière par la simple somme des temps de séjour dans les portions individuelles :

$\tau _{D}=\sum _{j=1}^{N}\tau _{Dj}=R\;\sum \tau _{{\mathcal {R}}_{jy}}\;+\;T\;\sum \tau _{{\mathcal {T}}_{jy}}\;.$

En ce qui concerne les parties imaginaires, l'équation de conservation $T+R=1$ fournit bien sûr :

$0=T\tau _{{\mathcal {T}}jz}+R\tau _{{\mathcal {R}}jz}\;,$

d'où la validité du critère d'exclusivité vérifié pour ces horloges locales :

$\tau _{D}=R\tau _{\mathcal {R}}+T\tau _{\mathcal {T}}\;.$

horloges locales

horloge de Larmor

La présentation se limite ici au cas d'une barrière globalement affectée par le champ magnétique homogène.

On suppose que la barrière de potentiel comporte un champ magnétique selon l'axe Oz, agissant sur des particules non chargées de spin 1/2 [L'utilisation de particules chargées introduit une complication du fait de la courbure de la trajectoire par le champ ; cet effet a été étudié]. Les particules incidentes sont supposées posséder un spin polarisé selon l'axe Oy de telle sorte que le spineur représentant ces particules exprimé dans un base standard prend la forme :

$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\exp(ikx)\;\exp(iEt/\hbar )\;.$.

Dans cette base standard l'hamiltonien total (potentiel d'origine et couplage avec le champ) est diagonal et on peut évaluer la diffusion sur la barrière en considérant séparément les particules qui sont orientées selon Oz ou selon -Oz. Pour ces particules la barrière perturbée par le champ est équivalente aux potentiels $V\pm \hbar \omega _{L}/2$ où $\omega _{L}$ est la fréquence angulaire de Larmor. Les coefficients de transmission respectifs aux deux cas sont notés ${\mathcal {T}}_{+}$ et ${\mathcal {T}}_{-}$ de telle sorte que le spineur normalisé transmis correspondant au spineur incident ci-dessus est, à une phase près :

${\frac {1}{\sqrt {\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}}\left({\begin{array}{c}{\mathcal {T}}_{+}\\{\mathcal {T}}_{-}\end{array}}\right)\exp(ikx)\;.$

Sur cette composante transmise il est possible de calculer la valeur moyenne de chaque composante du spin, selon :

${\begin{array}{crl}<S_{z}>&=&{\frac {\hbar }{2}}<\psi \vert \sigma _{z}\vert \psi >\qquad ={\frac {\hbar }{2}}\;{\frac {\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}-\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}{\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}\;,\\<S_{y}>&=&{\frac {\hbar }{2}}<\psi \vert \sigma _{y}\vert \psi >\qquad =i{\frac {\hbar }{2}}\;{\frac {{\mathcal {T}}_{+}{\mathcal {T}}_{-}^{*}-{\mathcal {T}}_{+}^{*}{\mathcal {T}}_{-}}{\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}\;,\\<S_{x}>&=&{\frac {\hbar }{2}}<\psi \vert \sigma _{x}\vert \psi >\qquad ={\frac {\hbar }{2}}\;{\frac {{\mathcal {T}}_{+}{\mathcal {T}}_{-}^{*}+{\mathcal {T}}_{+}^{*}{\mathcal {T}}_{-}}{\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}\,.\end{array}}$

Pour ce qui suit il est utile de rappeler l'identité portant sur ce spin 1/2 :

$<S_{z}>^{2}+<S_{y}>^{2}+<S_{x}>^{2}\;=\;{\frac {\hbar ^{2}}{4}}\;.$

En électrodynamique classique ou en électrodynamique quantique de particules libres dans un champ magnétique, l'horloge de larmor exprime la rotation du moment magnétique autour du champ (ici orienté selon Oz). C'est ainsi que l'on définit une aiguille de l'horloge à partir des valeurs moyennes des composantes x et y du spin des particules transmises.

Dans le cas d'un faible champ magnétique, on obtient sans difficulté le développement de la transmittivité à partir de la variation (faible) du potentiel, $\delta V=\pm \hbar \omega _{L}/2$. Ceci fournit un lien entre les valeurs moyennes des composantes z et y du spin et les parties imaginaire et réelle du temps complexe local :

$<S_{z}>={\frac {\hbar }{2}}\quad {\frac {{\frac {4}{\hbar }}\vert {\mathcal {T}}\vert ^{2}\tau _{T_{z}}({\frac {\hbar }{2}}\omega _{L})}{2\vert {\mathcal {T}}\vert ^{2}}}\quad =\;{\frac {\hbar }{2}}\;\omega _{L}\;\tau _{Tz}\;;$

$<S_{y}>=\;-{\frac {\hbar }{2}}\;\omega _{L}\;\tau _{T_{y}}\;.$

Ainsi les deux composantes du temps complexe ($\tau _{T_{z}}$ et $\tau _{T_{y}}$ sont-elles directement observables en considérant les transmittivités des particules parallèle ou antiparallèle au champ :

${\begin{array}{crl}\tau _{T_{z}}&=&{\frac {1}{\omega _{L}}}\;{\frac {\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}-\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}{\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}\;,\\\tau _{T_{y}}&=&{\frac {-i}{\omega _{L}}}\;{\frac {{\mathcal {T}}_{+}{\mathcal {T}}_{-}^{*}-{\mathcal {T}}_{+}^{*}{\mathcal {T}}_{-}}{\vert {\mathcal {T}}_{+}\vert ^{2}+\vert {\mathcal {T}}_{-}\vert ^{2}}}\;.\end{array}}$

La valeur moyenne selon x peut être déduite des deux autres en utilisant la contrainte signalée ci-dessus. Il vient alors directement :

$<S_{x}>=\;-{\frac {\hbar }{2}}\;[1-\omega _{L}^{2}\;(\tau _{Ty}^{2}+\tau _{Tz}^{2})/2]\;,$

que l'on peut récrire sous une forme mettant en évidence une rotation dans le plan Oxy sous l'action du champ pour un spin primitivement orienté selon Oy et prenant une petite composante selon Ox, durant la durée de traversée de Büttiker $\tau _{Tx}\equiv \tau _{TB}$, tel que :

$<S_{x}>=\;-{\frac {\hbar }{2}}\;[1-\omega _{L}^{2}\;\tau _{T_{x}}^{2}/2]\quad ,\quad \tau _{TB}={\sqrt {\tau _{T_{y}}^{2}+\tau _{T_{z}}^{2}}}\;.$

Pour les barrière les plus larges c'est la durée selon z qui l'emporte, menant à la valeur asymptotique trouvée lors de l'introduction de la relation d'incertitude :

$\tau _{TB}\simeq \tau _{T_{z}}={\frac {md}{\hbar K}}\;.$

Sur la figure ci-contre les abscisses sont données en fonction de $k_{0}={\sqrt {2mV/\hbar ^{2}}}$, portant référence à la hauteur de la barrière de potentiel rectangulaire, et les ordonnées en fonction de la durée mise par un mode libre, de vecteur d'onde $k_{0}$, pour parcourir une distance égale à l'épaisseur de la barrière. La durée de Büttiker (relative à la durée libre) est toujours supérieure à 1 évitant ainsi le risque d'introduction d'un signal supraluminique.

Bien sûr les composantes z et y satisfont (cf. supra) la condition d'additivité. Il n'en est plus de même pour la durée de Büttiker, définie à partir de la racine carrée de la somme des carrés des précédentes.

Ce qui précède a été exposé dans le cas de la partie transmise. En ce qui concerne la partie réfléchie, la mise au point du formalisme et les déterminations numériques correspondantes peuvent se décalquer sans difficulté.

• horloge de Larmor et paquet d'ondes

• 
  spectre du paquet incident et transmittivités des deux composantes du spineurs
• 
  instantané montrant les positions des paquets composantes du spineur après transmission