Temps de traversée tunnel/Barrière et paquet d'ondes

Géométrie

La barrière de potentiel est située entre les points a et b, séparant les demi-espaces infinis gauche et droit où règnent respectivement les potentiels homogènes $V_{L}$ et $V_{R}$.

La petite cloche horizontale représente le spectre d'un paquet d'ondes, dont une des composantes correspond à la ligne rouge $E(k)$. Pour ce mode là une partie de la barrière est en condition de traversée tunnel. Le formalisme utilisé est général et se trouve être valable pour les modes d'énergie supérieure ou inférieure à la barrière de potentiel.

Les différentes figures présentées dans le corps du texte correspondront soit au paquet d'onde, soit à une de ses composantes seulement. En pratique tous les calculs sont effectués sur une base assez riche en modes (100 ou 200 modes) qui seront sommés si besoin de façon à donner les résultats propres au paquet d'ondes.

On utilise ici les conventions usuelles pour lesquelles le paquet que l'on construit sera en provenance de la gauche. Bien sûr certaines extensions du formalisme demandent l'introduction de paquets incidents en provenance de droite, ce qui peut se faire sans trop de difficulté ... avec un peu de soin.

Comme dit plus haut le traitement ne s'intéressera pas à une forme de barrière particulière, sauf lorsqu'il s'agira de confronter les résultats à des approches antérieures, la plupart du temps fondées sur des barrières rectangulaires simples, ou des associations de telles barrières révélant des résonances de transmittivité.

Les calculs numériques seront effectués en considérant une particule de masse égale à la masse effective de l'électron dans l'AsGa, soit 0,067 fois la masse de l'électron, masse qui sert souvent de référence. Dans le cas de barrière différente de la barrière rectangulaire les solutions sont obtenues par l'utilisation de la méthode des matrices de transfert.

le paquet d'ondes et la décomposition spectrale

L'écriture générale d'un paquet d'onde répondant à l'équation de Schrödinger associée à la barrière unidimensionnelle prend la forme suivante : $\Psi (x,t)\,=\,\left\lbrace {\begin{array}{l}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\lbrace \int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\,\phi (k)\,\exp(i\,[kx-E(k)t/\hbar \,])\\\qquad +\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\,\phi (k)\,{\mathcal {R}}_{ab}(k)\,\exp(2ika)\,\exp(-i[\,kx+E(k)t/\hbar \,])\,\rbrace \quad x\leq a\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\,\phi (k)\,A(x,k)\exp(-i\,E(k)t/\hbar \,])\qquad \quad a\leq x\leq b\\{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\,\phi (k)\,{\mathcal {T}}_{ab}(k)\,\exp(ika-ik_{R}b)\,\exp(i[\,k_{R}x-E(k)t/\hbar \,])\,\rbrack \quad x\geq b\\\end{array}}\right.$.

En pratique le spectre $\phi (k)$ est centré sur une valeur positive, et la distribution est choisie assez resserrée pour que seuls les modes progressifs interviennent. Le choix des phases des différents termes est tel qu'à l'instant $t=0$ le sommet du paquet soit situé en $x=0$, à gauche du début a de la barrière. L'écriture des termes où interviennent les parties réfléchies et transmises ont été choisies de telle sorte que les coefficients de réflexion ${\mathcal {R}}_{ab}$ et de transmission ${\mathcal {T}}_{ab}$ soient propres à la barrière uniquement, et non liés à l'origine, quelconque, du repère choisi. Ce choix d'écriture, assez inusuel, permet de simplifier les résultats à venir.