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Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Résistance des matériaux/Formulaire des poutres simples - Déformée

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Éléments théoriques et pratiques


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Le présent formulaire sert à la vérification de l'état limite en service (ELS). La poutre ayant déjà été vérifiée à l'ELU (voir Formulaire des poutres simples - Efforts de cohésion), on sait qu'elle ne risque pas de rompre. Mais elle se déforme élastiquement sous l'effet du chargement ; il faut donc vérifier que la flèche que prend la poutre reste compatible avec son usage. En particulier, s'il existe un jeu fonctionnel, il faut s'assurer que la flèche est inférieure au jeu.

La flèche est également un élément esthétique, de compatibilité avec les éléments posés dessus (par exemple un plancher), et permet d'avoir des renseignements sur le comportement dynamique (vibrations). En génie civil, on admet typiquement une flèche égale :

  • à L/150 (soit 1/150 de la portée L) pour les parties d'ouvrage en console n'ayant pas à supporter couramment une circulation (auvents, débords de toiture), pour les tubes d'une structure supportant un poste électrique HTB (RTE[1]) ;
  • à L/200 pour les pièces supportant directement des éléments de couverture (chevrons, liteaux), la charpente d'une structure supportant un poste électrique HTB (RTE)
  • à L/250 pour une poutre, dalle ou console soumise à des charges quasi-permanentes (clause 7.4.1.4 de l'Eurocode 2. Béton armé) ;
  • à L/300 pour une solive supportant un plancher, les pannes, les pièces supportant directement des matériaux verriers, les consoles supportant une circulation (montage ou entretien), les poteaux avec ponts roulants, les poteaux avec remplissage en maçonnerie prenant appui sur le poteau, les poteaux destinés à recevoir un vitrage sur plus de la moitié de leur hauteur, les éléments fléchis reposant sur deux ou plusieurs appuis, et ne supportant pas d'éléments de remplissage ;
  • à L/400 pour les ouvrages fléchis autres que les consoles, et supportant une circulation (montage ou entretien) ou un remplissage ;
  • à L/500 pour un linteau de mensuiserie ;
  • L/600 pour un pont forestier neuf acier-bois (Ministère des ressources naturelles, Québec) ;

La fibre neutre prend une forme appelée « déformée », qui s'exprime par une fonction déplacement y = u(x ) ; par la suite, on la note simplement y(x ). La flèche est l'extremum de cette fonction :

.

La pente est la dérivée de la déformée (coefficient directeur de la tangente) ; comme elle est faible (on suppose des petites déformations), cela correspond approximativement à l'angle θ en radians que fait la tangente avec l'horizontale :

.

La courbure, définie comme l'inverse du rayon de courbure, est la dérivée seconde de la déformée :

et est donnée par

  • la valeur du moment fléchissant Mf ;
  • la rigidité de la poutre, qui dépend
    • de la rigidité propre au matériau, donnée par le module de Young E (MPa),
    • la rigidité due à la forme de la section, donnée par le moment quadratique IGz, noté par la suite I.

On obtient l'équation différentielle

.

La résolution de cette équation donne y.

Dans le cas de sollicitations composées, on ne peut pas ajouter les flèches ; il faut ajouter les équations des déformées, puis rechercher les extrema de cette nouvelle fonction.

Sections

Problèmes isostatiquesModifier

Poutres bi-appuyéesModifier

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
 

force concentrée en son centre

 

 

 
 
 

force concentrée

 

 

 

 

 

 

 

force concentrée à l'extérieur des appuis

 

 
 

 

 
 

 

 ,  

 

charge uniforme

 

 

 
 
 

charge linéaire croissante

 

 

 

 

 
 

couple concentré en A

 

 

 

 

 
 

couple concentré en x = a

 

 

 

 

 

Poutre consoleModifier

La poutre est encastrée à gauche (A) et libre à droite. On a toujours θA = 0 et xf = L.

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
 
charge concentrée à l'extrémité
   
 
 
charge concentrée
   
 

 

 
charge uniforme
   
 
 
charge croissante q(x ) = q0x/L
   
 
 
charge décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)
   
 
 
couple
   
 

 

Problèmes hyperstatiques de degré 1Modifier

Poutre encastrée-appuyéeModifier

La poutre est encastrée à gauche (A) et appuyée à droite (B). On a toujours θA = 0.

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
 

charge concentrée au milieu

 

 

 
 

charge concentrée en x = a

 (Référence nécessaire)

 
 

 
 

charge uniforme

 

 

 
 

charge linéaire décroissante q(x ) = q0(1 - x/L)

 

 

 
 

charge triangulaire symétrique

 

 

 
 

couple en B

 

 

 
 

couple en x = a

Poutre continue à deux travées égalesModifier

Sollicitation Flèche Pente
Équation de la déformée
 

charge concentrée au milieu d'une travée

[[Image: poutre
charge

Problèmes hyperstatiques de degré 3Modifier

Poutre bi-encastréeModifier

La poutre est encastrée en A et en B, on a toujours θA = θB = 0.

Sollicitation Flèche
Équation de la déformée
 

charge concentrée au centre

 

 

 

charge excentrée (p. ex. charge roulante)

 
 

charge uniforme

 

 

 

Notes et référencesModifier

  1. norme RTE EDF Transport — Réseau de transport de l'électricité

Voir aussiModifier