« Approfondissements de lycée/SE Démonstrations » : différence entre les versions
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Ligne 1 :
[[AL Démonstrations
===Exercices sur l'induction mathématique===
Ligne 5 :
:Démontrer que <math>1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,</math>
::Lorsque n=1,
::Coté gauche de l'équation <math>= 1
::Coté droit de l'équation <math>= \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = \frac{6}{6} = 1\,</math>
::Par conséquent coté gauche = coté droit
::Par conséquent, c'est vrai lorsque n=1.
::Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,
::i.e. <math>1^2 + 2^2 +
::<math>\begin{matrix}1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 & = & \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \\ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 & = & \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \\ \ & = & \frac{1}{6}(k+1) \left [ k(2k+1) + 6(k+1) \right ] \\ \ & = & \frac{1}{6}(k+1) \left [ 2k^2 + 7k + 6 \right ] \\ \ & = & \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{matrix}\,</math>
::Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.
::Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.
Ligne 19 :
::<math> (1 + \sqrt{5})^n = x_n + y_n\sqrt{5}\,</math>
:où <math>x_n\,</math> et <math>y_n\,</math> sont des entiers.
::
::<math>1 + \sqrt{5} = x_1 + y_n\sqrt{5}\,</math>
::Par conséquent <math>x_1=1\,</math> et <math>y_1=1\,</math>, qui sont tous les deux des entiers.
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