« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

(Début de la traduction de l'article anglais)
 
Les mathématiciens ont été, durant des siècles, obsédés par les démonstrations. Ils veulent tout prouver, et par ce processus, ils ont démontré qu'ils ne pouvaient pas tout démontrer (voir [[w:Théorème d'incomplétude|ceci]]). Ce chapitre introduira les techniques de l'induction mathématique, la démontration par l'absurde et l'approche axiomatique des mathématiques.
 
==Induction mathématique ou raisonnement par récurrence==
Le raisonnement déductif est le processus de recherche de conclusion qu'il est garanti d'obtenir. Par exemple, si nous savons que
* Tous les corbeaux sont des oiseaux noirs, et
* Cette boule de billard bougera si je la frappe avec cette queue.
 
L'induction est l'opposé de la déduction. ToPour inducecela, wenous observeobservons howcomment thingsles behavechoses inse specificcomportent casesdans anddes fromcas thatparticuliers weet drawà conclusionspartir asde tocela hownous thingsconstruisons behavedes inconclusions thesur generalleur casecomportement dans les cas généraux. ForPar exemple example:
:<math>1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
Nous savons que c'est vrai pour tous les nombres, parceque [[w:Gauss|Gauss]] nous l'a dit. Mais comment montrons-nous que c'est vrai pour tous les nombres entiers positifs ? Même si nous pouvons montrer que l'identité reste valable pour les nombres de un à milliard ou tout nombre plus grand que nous pouvons penser, nous n'avons pas encore démontré que cela est vrai pour tous les nombres entiers positifs. C'est ici que l'induction mathématique intervient, cela marche un peu comme les dominos.
We know it is true for all numbers, because [[w:Gauss|Gauss]] told us. But how do we show that it's true for all positive integers? Even if we can show the identity holds for numbers from one to a trillion or any larger number we can think of, we still haven't proved that it's true for all positive integers. This is where mathematical induction comes in, it works somewhat like the dominoes.
 
Si nous pouvons montrer que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'', et que ce fait implique que l'identité reste encore valable pour ''k + 1'', alors nous avons effectivement montré qu'elle marche pour tous les nombres entiers.
If we can show that the identity holds for some number ''k'', and that mere fact implies that the identity also holds for ''k + 1'', then we have effectively shown that it works for all integers.
 
'''ExampleExemple 1'''
Montrer que l'identité
Show that the identity
:<math>1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
reste valable pour tous les nombres entiers positifs.
holds for all positive integers.
 
'''Solution'''
FirstlyD'abord, wenous showmontrons thatqu'elle itest holdsvalable forpour integersles entiers 1, 2 andet 3
:<math>1 = 2& \times; \frac{1/}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 = 3& \times; \frac{2/}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 + 3 = 4& \times; \frac{3/}{2} = 6\,</math>
Supposons que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'', alors
Suppose the identity holds for some number ''k'', then
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{1}{2}(k + 1)k </math>
isest truevrai.
 
Nous devons montrer que :
We aim to show that:
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{1}{2}(k + 2)(k + 1) </math>
est vrai également.
is also true.
C'est à dire :
We proceed
:<math>
\begin{matrix}
\end{matrix}
</math>
whichqui isest whatce weque havenous setdevions out to showmontrer. SincePuisque thel'identité identityreste holdsvalable forpour 3, itelle alsoest holdsaussi forvalable pour 4 andet sincepuisqu'elle itest holdsvalable forpour 4, itelle alsoreste holdsvalable forpour 5, andet 6 andet 7 andet ainsi sode onsuite.
 
ThereIl areexiste twodeux types ofd'inductions mathematicalmathématiques induction: strongla andforte weak.et Inla faible. weakEn induction faible, youvous assumesupposez theque identityl'identité holdsreste forvalable certainpour valueune certaine valeur k, andet provevous itla fordémontrez pour k+1. InEn stronginduction inductionforte, the identityl'identité mustdoit beêtre truevraie forpour anytoute valuevaleur lesserinférieure orou equalégale toà k, andet thenvous provela itdémontrez forpour k+1.
 
'''ExampleExemple 2'''
ShowMontrer thatque n! > 2<sup>n</sup> forpour n &ge; 4.
 
'''Solution'''
TheL'énoncé claimest isvrai true forpour n = 4. AsComme 4! > 2<sup>4</sup>, i.e. 24 > 16.
NowMaintenant, supposesupposons itqu'sil trueest forvrai pour n = k, k &ge; 4, i.e.
:k! > 2<sup>k</sup>
il en découle que
it follows that
:(k+1)k! > (k+1)2<sup>k</sup> > 2<sup>k+1</sup>
:(k+1)! > 2<sup>k+1</sup>
WeNous haveavons shownmontré thatque if forsi n = k thenalors, it'sil est alsovrai trueaussi forpour n = k + 1. Since itPuisqu'sil trueest forvrai pour n = 4, it'sil est truevrai forpour n = 5, 6, 7, 8 andet ainsi de sosuite onpour fortous allles n.
 
'''ExampleExemple 3'''
Montrer que
Show that
:<math>1^3 + 2^3 + ...+ n^3 = \frac {(n+1)^2n^2}{4} </math>
 
'''Solution'''
SupposeSupposons it'sque truecela forest vrai pour n = k, i.e.
:<math>1^3 + 2^3 + ...+ k^3 = \frac {(k+1)^2k^2}{4} </math>
il en découle que
it follows that
:<math>
\begin{matrix}
\end{matrix}
</math>
WeNous haveavons shownmontré thatque if it's'il est truevrai forpour n = k thenalors it'sil est alsovrai trueaussi forpour n = k + 1. NowMaintenant, it'sil est truevrai forpour n = 1 (clearévident)., Thereforepar it'sconséquent, il est vrai truepour fortous allles integersentiers.
 
=== ExercisesExercices ===
1. ProveDémontrer thatque <math>1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{ n(2n^2 + 3n +1)}{6} </math>
 
2. ProveDémontrer that forpour n &ge; 1,
:<math> (1 + \sqrt{5})^n = x_n + y_n\sqrt{5}</math>
where x<sub>n</sub> andet y<sub>n</sub> aresont integersdes entiers.
 
3. NoteNoter thatque
:<math>\sum_{i=1}^n[i^k - (i-1)^k] = n^k</math>
Démontrer qu'il existe une formule explicite pour
Prove that there exists an explicit formula for
:<math>\sum_{i=1}^ni^m</math> forpour alltous integerles entiers ''m''. EC.a.gd.
<math>1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
 
4. TheLa sumsomme ofde alltous theles angles of ad'un triangle isest <math>180^\circ</math>; theLa sumsomme ofde alltous theles angles of ad'un rectangle isest <math>360^\circ</math>. ProveDémontrer thatque thela sumsomme ofde alltous theles angles of ad'un polygonpolygone withà ''n'' sidescotés, isest <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.
 
==Proof by contradiction==
358

modifications