« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

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''Imaginons'', pour ce chapitre, que <math>i = \sqrt{-1}\,</math> existe. Donc, <math>x = i\,</math> est une solution à l'équation précédente, et <math>i^2 = -1\,</math>.
 
Une bonne question que l'on pourrait poser est "Pourquoi ?". Pourquoi est-ce important que nous soyons capable de résoudre ces équations quadratique avec cette construction qui semble artificielle ? Il est intéressant de creuser un peu plus sur la raison de l'introduction des nombres "imaginaires" - il est apparu que non seulement cela était valide, mais qu'en plus ils permettaient une résolution plus aisée et plus élégante. Cette construction était très utile, et pouvait être approfondie.
 
La réponse à la question n'est pas liée à la résolution des équations quadratiques, mais plutôt à la résolution de l'intersection d'une équation cubique et d'une droite. Le mathématicien Cardan effectua la résolution des équations cubiques avec une méthode ingénieuse - comme les formules quadratiques, il existe aussi une formule qui nous donne les racines des équations cubiques, bien qu'elles soient de loin plus compliquées. Essentiellement, nous pouvons exprimer la solution d'une équation cubique <math>x^3 = 3px + 2q\,</math> sous la forme
 
<math>x=\sqrt[3]{q + \sqrt{q^2 - p^3}} + \sqrt[3]{q - \sqrt{q^2-p^3}}</math>
x & = & \frac{6 \pm \sqrt{-1}\sqrt{16}}{2} \\
x & = & \frac{6 \pm 4i}{2} \\
x & = & 3 + 2i \ , \ 3 - 2i\\
\end{matrix}
</math>
& = & 5 + 12i\\
x^2 - 6x + 13 &=& 5 + 12i - 6(3+2i) + 13\\
&=& 0\\
\end{matrix}
</math>
\frac{1}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}
</math>
est de rendre rationnel le dénominateur :
 
:<math>
 
=== Conjugué complexe ===
Ceci conduit à l'idée de conjugués. Par exemple, le conjugué de ''2 + 3i'' est ''2 - 3i''. Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel. Si ''z'' est un nombre complexe, alors son conjugué est noté <math>\bar{z}</math>. Symboliquement si
:z = a + ib
alors,
:<math>\bar{z} = a - ib</math>
 
Le conjugué de
''3 - 9i''
est
''3 + 9i''.
 
Le conjugué de
''100''
est
''100''.
 
Le conjugué de
''9i - 20''
est
''-20 - 9i''.
 
Maintenant que vous êtes équipé avec toutes les bases des nombres complexes, vous pouvez aborder un chapitre un peu plus difficile, la recherche des racines.
 
Considérons la question :
:<math>
\begin{matrix}
\begin{matrix}
z &=& -2 + 2i \\
w &=& z^{1/3}
\end{matrix}
</math>
 
=== Fonctions à valeurs complexes ===
De la même manière que nous pouvons utiliser des fonctions qui à partir de valeurs ''réelles'' ont des valeurs ''réelles'', nous pouvons créer des fonctions à partir de nombres complexes vers les nombres réels, ou à partir de nombres complexes vers les nombres complexes. Ces dernières fonctions sont souvent appelées fonctions ''à valeurs complexes'', parce que leur valeur de sortie est un nombre complexe; il est implicite que leur argument est complexe.
 
Puisque les fonctions à valeurs complexes appliquent des nombres complexes vers d'autres nombres complexes, et nous déjà vu que les nombres complexes correspondent aux points du plan complexe, nous pouvons voir que les fonctions à valeurs complexes peuvent convertir des régions du plan complexe en d'autres régions. Un exemple simple : la fonction
:<math>f(z) = z + (0+1i)\,</math>
prend un point dans le plan complexe et l'augmente de 1. Si nous l'appliquons à l'ensemble de points du carré ci-dessus, elle le déplacera de un verticalement, c'est à dire qu'il "reste" sur l'axe réel.
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