« Approfondissements de lycée/Logique » : différence entre les versions
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En notation symbolique, '''NON''' x est noté x' (ou par une barre sur le sommet du x).
'''Notations alternatives :'''
:<math>x \times y = x \wedge y</math>
et
:<math>x + y = x \vee y</math>
Ligne 883 :
Une fois que nous avons ces lois, nous voulons simplifier les expressions booléennes comme nous le faisons avec l'algèbre ordinaire. Nous pouvons simplifier l'exemple avec facilité :
:<math>
\begin{matrix}
xyzw' + xyzw &=& xyz(w + w')\\
&=& xyz
Ligne 891 :
La même chose peut être dite à propos de :
:<math>
\begin{matrix}
(x + y)(x' + y') &=& x(x' + y') + y(x' + y')\\
&=& xx' + xy' + yx' + yy'\\
Ligne 922 :
:x + yz = (x + y)(x + z)
''Si l'étape suivante n'est pas claire, essayer de construire des tables de vérité comme une aide à la compréhension.''
:<math>
Ligne 1 031 :
x
&=& [(a' + c)\cdot (b + d')]'\\
&=& (a' + c)' + (b + d')'\\
&=& ac' + b'd\\
\end{matrix}
</math>
Ligne 1 067 :
== Propositions ==
Nous nous sommes occupés de propositions depuis le début de ce chapitre, bien que nous n'ayons pas dit que cela en était. Une proposition est simplement un énoncé (ou une phrase) qui est soit VRAIE ou FAUSSE. Nous pouvons utiliser l'algèbre booléenne pour manipuler les propositions.
Il existe deux types spéciaux de propositions -- les tautologies et les contradictions. Une tautologie est une proposition qui est toujours VRAIE, c.a.d. "1 + 1 = 2". Une contradiction est l'opposée d'une tautologie, c'est une proposition qui est toujours FAUSSE, c.a.d. "1 + 1 = 3". Comme d'habitude, nous utilisons 1 pour représenter VRAI et 0 pour représenter FAUX. Notez s'il vous plaît que les opinions ne sont pas des propositions, c.a.d. "George W. Bush a débuté la guerre en Irak pour son pétrole." est simplement une opinion, sa véracité ou sa fausseté n'est pas universelle, voulant dire que certains pensent que c'est vrai, certains non.
Ligne 1 076 :
"Sydney est en Australie" est une proposition
"1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 16" est une proposition
"La Terre est une sphère parfaite" est une proposition
Ligne 1 124 :
Si
:<math>(x \Rightarrow y) \ \mbox{ET} \ (y \Rightarrow x)</math>
alors nous exprimons ceci symboliquement comme
:<math>x \Leftrightarrow y</math>.
C'est une implication à deux sens qui traduit ''x'' est VRAI si et seulement si ''y'' est vrai. Autrement dit, '''si''' correspond à l'implication <math>(x \Rightarrow y)\,</math>, '''seulement si''' à l'implication <math>(y \Rightarrow x)\,</math>. L'opération ''si et seulement si'' possède la table de vérité suivante :
Ligne 1 169 :
:<math>
\begin{matrix}
z
&=& xy(x + y)'\\
&=& xy(x'y')\\
Ligne 1 234 :
:<math>(\forall x)(\exists y)(x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = y^2) </math>
est un énoncé vrai.
Sa négation est
:<math>(\exists x)(\forall y)(x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 \ne y^2) </math>
Ligne 1 250 :
== Puzzles logiques ==
Puzzle est un mot que tout le monde comprend, il fait référence à quelquechose d'évident qu'il est nécessaire de résoudre. Voici une collection de puzzles logiques que nous pouvons résoudre en utilisant l'algèbre booléenne.
Ligne 1 265 :
:Soit ''B'' VRAIE si Barbara est un chevalier
:Il y a ''deux'' situations, soit :
::Alex est un chevalier et ce qu'il dit est VRAI, OU
::il n'est PAS un chevalier et ce qu'il dit est FAUX.
:Si nous traduisons cela en symboles :
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