« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions
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== Introduction ==
Lorsque les enfants apprennent les nombres, ils sont intéressés par les plus gros, un million, un milliard, un billion. Ils peuvent même inventer leurs propres termes etc. Une des premières questions mathématiques qu'un enfant demande est "quel est le plus grand nombre ?" Ceci conduira souvent à une courte explication qu'il existe une infinité de nombres.
Mais il existe plusieurs ''types'' différents d'infinis - en fait, il existe une infinité de types d'infini ! Ce chapitre essaiera d'expliquer ce que ces sortes d'infinis représentent ainsi que leurs différences entre eux.
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:<math>\{6,7,8,9,10\}</math>
La notion de Cantor sur "la même taille" d'ensembles ne prend pas en considèration si les nombres sont plus gros, mais s'il existe la même quantité d'objet à l'intérieur. Vous pouvez voir facilement ici qu'ils sont de même taille, parceque vous pouvez simplement compter le nombre d'éléments dans chaque ensemble. Mais avec un nombre infini d'éléments, vous ne pouvez pas, dans un temps fini, compter tous les éléments d'un ensemble pour voir s'il a le même nombre qu'un autre.
Pour décider si deux ensembles infinis ont le même nombre d'éléments, nous devons réfléchir avec précaution sur ce que nous faisons lorsque nous comptons. Pensons à deux enfants qui se partagent un sac de billes.
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Soit <math>\mathbb{N}\,</math> l'ensemble des nombres courants. <math>\mathbb{N}\,</math> est appelé l'ensemble des nombres naturels. 1,2,3,4,5,6, ... "jusqu'à" l'infini.
Soit B, l'ensemble des nombres négatifs -1,-2,-3, ... ainsi de suite "jusqu'à" - l'infini.
Les éléments de <math>\mathbb{N}\,</math> et B peuvent-ils être appariés ? La manières formelle de dire cela est "Peut-on mettre A et B en bijection ?"
Evidemment, la réponse est oui. 1 de l'ensemble <math>\mathbb{N}\,</math> correspond à -1 de B. Comme suit :
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Historiquement, cet ensemble est généralement appelé <math>\mathbb{Z}\,</math>. Noter que <math>\mathbb{N}\,</math>, l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Z}\,</math>. Tous les éléments de <math>\mathbb{N}\,</math> sont dans <math>\mathbb{Z}\,</math>, mais tous les éléments de <math>\mathbb{Z}\,</math> ne sont pas dans <math>\mathbb{N}\,</math>.
Ce que nous avons besoin de savoir est si <math>\mathbb{Z}\,</math> peut être mis en bijection avec <math>\mathbb{N}\,</math>. Notre première réponse, donnée par le fait que <math>\mathbb{N}\,</math> est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Z}\,</math>, serait non mais elle serait fausse ! En théorie des ensembles, l' ''ordre'' des éléments n'est pas important. Il n'y a pas de raisons pourquoi nous ne pourrions pas réarranger les éléments dans n'importe quel ordre tant que nous n'en omettons pas. <math>\mathbb{Z}\,</math> présenté comme ci-dessus n'est pas très dénombrable, mais si nous le réécrivons comme 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, 4 ..... et ainsi de suite, nous pouvons voir qu'il est dénombrable.
:'''Z''' '''N'''
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Maintenant, la question est - le criminel peut-il sortir de lui même de la prison ? (réfléchir un peu avant de lire la suite)
Evidemment, cela dépend du nombre. Si le directeur de prison choisit un nombre naturel, alors le criminel suppose 1, le premier jour, 2, le deuxième jour et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il trouve le nombre correct. De même pour les entiers, 0 le premier jour, -1 le deuxième jour. 1 le troisième jour et ainsi de suite. Si le nombre est très grand, alors cela peut prendre un long moment pour sortir de prison mais il pourra le faire.
Ce dont à besoin le directeur de prison, c'est de choisir un ensemble qui n'est pas dénombrable de cette manière. Pensez à un axe gradué. Les entiers sont largement espacés. Il existe une quantité de nombres compris entre les entiers 0 et 5 par exemple. Donc, nous devons nous occuper d'ensemble ''plus denses''. Le premier exemple qui vient en tête à la plupart des gens est celui des fractions. Il existe un nombre infini de fractions entre 0 et 1 donc assurément, il existe plus de fractions que d'entiers ? Est-il possible de dénombrer les fractions ? Imaginons cette possibilité un instant. Si nous essayons de dénombrer toutes les fractions entre 0 et 1 puis entre 1 et 2 et ainsi de suite, nous allons être bloqués parceque nous n'aurons jamais fini de compter celles qui précèdent 1 (il en existe une infinité). Mais cela veut-il dire qu'elles sont non-dénombrables ? Pensez à la situation avec les entiers. Les ordonner ...-2, -1, 0, 1, 2, ... les rendaient impossibles à dénombrer, mais les ''réordonner'' 0, -1, 1, -2, 2, ... permettait de les compter.
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En fait, il existe une manière d'ordonner les fractions pour permettre de les dénombrer. Avant d'aller plus avant, revenons à un langage mathématique normal. Les mathématiciens utilisent le terme ''nombre rationnel'' pour définir ce que nous avons appelé fractions. Un nombre rationnel est n'importe quel nombre qui peut être écrit sous la forme p/q où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 3/4 est rationnel comme l'est -1/2, l'ensemble des nombres rationnels est généralement noté <math>\mathbb{Q}\,</math> . Noter que <math>\mathbb{Z}\,</math> est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Q}\,</math> parceque tout entier peut être divisé par 1, pour le rendre rationnel. C.a.d. le nombre 3 peut être écrit sous la forme p/q comme 3/1.
Maintenant, comme tous les nombre dans <math>\mathbb{Q}\,</math> sont définis par deux nombres p et q, il est commode d'écrire <math>\mathbb{Q}\,</math> sous la forme d'une table.
<math>\begin{matrix}\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{2}{1} & \frac {2}{2} & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{3}{1} & \frac{3}{2} & \frac{3}{3} & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
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L'ensemble <math>\mathbb{R}\,</math> est énorme ! Beaucoup plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>. Pour ressentir les tailles différentes de ces deux ensembles infinis, considérons les développements décimaux d'un nombre réel et d'un nombre rationnel. Les nombres rationnels finissent toujours soit par :
*1/8 = 0,125
ou avec une répétition de séquence :
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:.
:.
Où <math>R_1\,</math> est le premier nombre de notre liste, <math>R_2\,</math> est le deuxième, et ainsi de suite. Noter que nous n'avons pas indiqué l'ordre d'écriture de la liste. Pour cette démonstration, nous n'avons pas besoin de l'indiquer, seulement que les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math> peuvent être mis en liste (et donc, dénombrables).
Maintenant, écrivons le développement décimal de chaque élément de la liste.
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Nous supposons que <math>a_1\,</math> prend n'importe quelle valeur de 0 à 9 inclus ''excepté'' le chiffre <math>r_{11}\,</math>. Donc, si <math>r_{11} = 3</math> alors <math>a_1\,</math> peut être 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9. Puis, nous supposont que <math>a_2\,</math> soit n'importe quel chiffre excepté <math>r_{22}\,</math> (le deuxième chiffre du deuxième nombre de la liste). Puis <math>a_3\,</math>, le troisième chiffre excepté <math>r_{33}\,</math> et ainsi de suite.
Maintenant, si ce nombre, que nous venons de construire ''était'' quelquepart dans la liste alors il serait égal à <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> (où <math>\alpha\,</math> est n'importe quel nombre). Regardons ce à quoi <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> peut être égal. Il ne peut pas être égal à <math>R_1\,</math> parcequ'il possède un premier chiffre différent (<math>r_{11}\,</math> et <math>a_1\,</math>). Il ne peut pas non plus être égal à <math>R_2\,</math> parcequ'il possède un deuxième chiffre différent, et ainsi de suite. En fait, il ne peut pas être égal à ''n'importe'' quel nombre de la liste because il diffère par au moins un chiffre de ''tous'' ceux-là.
Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math>". Ceci veut dire que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>.
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=== Existe-t'il des infinis plus grands ? ===
Ils existent mais ils sont difficiles à décrire. L'ensemble de toutes les combinaisons possibles de n'importe quel nombre de nombres réels est un infini "plus grand" que <math>\mathbb{R}\,</math>. Néanmoins, imaginer un tel ensemble embrouille l'esprit. Regardons à la place un ensemble qui semblerait plus grand que <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui ne l'est pas.
Rappelez-vous <math>\mathbb{R'}\,</math>, que nous avons défini plus tôt comme l'ensemble des nombres sur un segment compris entre 0 et 1. Considérons l'ensemble de tous les nombres dans le carré entre les points du plan [0,0] et [1,1]. Au premier abord, il semblerait évident qu'il doit y avoir beaucoup plus de points sur le carré qu'il en existe sur une ligne. Mais, en mathématiques transfinies, l'"évident" n'est pas toujours vrai et la démonstration est la seule manière de le voir. Cantor dépensa trois années à essayer de démontrer que c'était vrai mais il échoua. Sa raison pour l'échec était la meilleure possible. C'est faux.
Ligne 155 :
[[Image:Points sur un segment et un carré.png]]
Chaque point dans ce carré est défini par deux nombres, l'abscisse et l'ordonnée; x et y tous deux le long de <math>\mathbb{R}\,</math>. Considérons un point du segment. <math>0,a_1 a_2 a_3 a_4 \ldots\,</math>. Pouvez-vous penser à une manière d'utiliser ce seul nombre pour définir un point dans le carré ? De même, pouvez-vous penser à une manière de combiner les deux nombres <math>x = 0,x_1 x_2 x_3 x_4\ldots\,</math> et <math>y = 0,y_1y_2y_3y_4\ldots\,</math> pour définir un point sur le segment ? (penser à cela avant de lire la suite)
Une manière de le faire est de prendre
:<math>a_1 = x_1\,</math>
:<math>a_2 = y_1\,</math>
Ligne 190 :
La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.
Malheureusement, la branche mathématique appelée '''analyse''' était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour l'ignorer simplement parcequ'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de ''limite'' fut inventée.
Considérons la suite
Ligne 222 :
Mais en utilisant les limites, nous pouvons résoudre
:<math> \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^2} = 1 + \lim_{x \to \infty}\frac{ 1}{x} = 1</math>
Pour notre deuxième exemple, considérons la limite lorsque x tend vers l'infini de <math> x^3 -x^2 </math>
Ligne 236 :
:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x} </math>
Pour rendre les choses très claires, nous réécrirons ceci sous la forme
:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}(\sin x) </math>
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