« Approfondissements de lycée/Logique » : différence entre les versions

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La vérité ou la fausseté des énoncés dépendent de l'''ordre'' dans lequel vous évaluez l'énoncé. Si vous évaluez "2 + 2 = 4 OU 1 + 1 = 3" d'abord, l'énoncé est faux, et autrement vrai. Comme dans l'algèbre ordinaire, il est nécessaire que nous définissions certaines règles pour gouverner l'ordre de l'évaluation, ainsi il n'y aura pas d'ambigüité.
 
Avant de décider dans quel ordre nous évalons les énoncés, nous allons faire ce que la plupart des mathématiciens aiment faire -- remplacer les phrases par des symboles.<br>
Before we decide which order to evaluate the statements in, we do what most mathematician love to do -- replace sentences with symbols.<br>
LetSoit ''x'' representreprésente thela truthvéracité orou falsityla offausseté thede statementl'énoncé 2 + 2 = 4.<br>
LetSoit ''y'' representreprésente thela truthvéracité orou falsityla offausseté thede statementl'énoncé 1 + 1 = 3.<br>
LetSoit ''z'' representreprésente thela truthvéracité orou falsityla offausseté thede statementl'énoncé 1 - 3 = -1.<br>
 
Ainsi, l'exemple ci-dessus peut être réécrit d'une manière plus compacte :<br>
Then the above example can be rewritten in a more compact way:<br>
:x OROU y ANDET z
 
Pour aller une étape plus loin, les mathématiciens remplacent aussi OU par + et ET par x, les énoncés deviennent :
To go one step further, mathematicians also replace OR by + and AND by &times;, the statement becomes:
:<math>x + y \times z</math>
 
NowMaintenant thatl'ordre thede orderpréférence ofest precedence is clearclair. WeNous evaluateévaluons yz (y ANDET z) firstd'abord, andpuis thenOU OR it withavec x. The statementL'énoncé "x + yz" isest truevrai, orou symbolicallysymboliquement
: x + yz = 1
where thele numbernombre 1 representsreprésente "truevrai".
 
Il existe une bonne raison pourquoi nous choisissons le signe multiplicatif pour l'opération ET. Comme nous le verrons plus tard, nous pouvons faire certains parallèles entre la multiplication et l'opération ET.
There is a good reason why we choose the multiplicative sign for the AND operation. As we shall see later, we can draw some parallels between the AND operation and multiplication.
 
L'algèbre booléenne, que nous sommes en train d'étudier à été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien britannique George Boole. L'algèbre booléenne traite de deux choses -- le "vrai" ou le "faux" qui sont souvent représentés par les nombres 1 et 0 respectivement. Quelque fois, on peut rencontrer aussi V et F.
The Boolean algebra we are about to investigate is named after the British mathematician George Boole. Boolean algebra is about two things -- "true" or "false" which are often represented by the numbers 1 and 0 respectively. Alternative, T and F are also used.
 
L'algèbre booléenne possède les opérations (ET et OU) analogues à l'algèbre ordinaire que nous connaissons et que nous aimons.
Boolean algebra has operations (AND and OR) analogous to the ordinary algebra that we know and love.
 
===Tables de vérité de base===
WeNous haveavons alltous hadeu toà memorisemémoriser thela 9 bytable 9de multiplication tableet andmaintenant, nownous wela knowconnaissons itpar off by heartcoeur. InEn Booleanalgèbre algebrabooléenne, thel'idée ideade oftable ade truthvérité tableà quelque ischose somewhatde similarsimilaire.
 
LetConsidérons l's consider the ANDopération operationET whichqui isest analogousanalogue toà thela multiplication. WeNous wantvoulons toconsidérer consider:
:x ANDET y
where andet ''x'' andet ''y'' eachreprésentent representchacun aun trueénoncé orvrai falseou statementfaux (e.g.par Itexemple is: rainingil todayest en train de pleuvoir aujourd'hui). ItIl isest truevrai ifsi andet onlyseulement if bothsi ''x'' andet ''y'' aretous trueles deux sont vrais, indasn la table form:
 
<table border="1" cellpadding="3">
<tr><th colspan="3">TheLa ANDfonction functionET</th></tr>
<tr>
<th>x</th> <th>y</th> <th>x ANDET y</th>
</tr>
<tr>
Ligne 59 :
</tr>
<tr>
<td>F</td> <td>TV</td> <td><center>F</center></td>
</tr>
<tr>
<td>TV</td> <td>F</td> <td><center>F</center></td>
</tr>
<tr>
<td>TV</td> <td>TV</td> <td><center>TV</center></td>
</tr>
</table>
 
Nous utiliserons 1 à la place de V et 0 à la place de F à partir de maintenant.
We shall use 1 instead of T and 0 instead of F from now on.
 
<table border="1" cellpadding="3">
<tr><th colspan="3">TheLa ANDfonction functionET</th></tr>
<tr>
<th>x</th> <th>y</th> <th>x ANDET y</th>
</tr>
<tr>
Ligne 90 :
</table>
 
NowMaintenant, younous shoulddevrions beêtre ablecapable tode seevoir whypourquoi wenous saydisons ANDque isET analogousest toanalogue à la multiplication, wenous shallremplacerons replacele theET ANDpar by &times;x, soainsi '''x ANDET y''' becomesdevient '''x&times; x y''' (orou justsimplement ''xy''). FromA thepartir ANDde truthla table de vérité, wenous avons have:
:0 &times;x 0 = 0
:0 &times;x 1 = 0
:1 &times;x 0 = 0
:1 &times;x 1 = 1
 
ToPour the ORl'opération operationOU. ''' ''x'' OROU ''y'' ''' isest FALSEFAUX ifsi andet onlyseulement if bothsi ''x'' andet ''y'' aresont falsetous les deux faux. InDans la table form:
 
<table border="1" cellpadding="3">
<tr><th colspan="3">TheLa ORfonction functionOU</th></tr>
<tr>
<th>x</th> <th>y</th> <th>x OROU y</th>
</tr>
<tr>
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</table>
 
L'opération OU est presque analogue à l'addition. Nous illustrerons ceci en remplaçant OU par + :
We say OR is almost analoguous to addition. We shall illustrate this by replacing OR with +:
:0 + 0 = 0
:0 + 1 = 1
:1 + 0 = 1
:1 + 1 = 1 (likecomme 1 OROU 1 isest 1)
 
TheL'opération NOTNON operation isn'est notpas aune ''binaryopération operationbinaire'', unlikeà ANDla anddifférence ORde ET et OU. '''NOTNON ''x'' ''' isest truevrai ifsi ''x'' isest falsefaux andet ''falsefaux'' ifsi ''x'' isest truevrai. InDans la table form:
 
<table border="1" cellpadding="3">
<tr><th colspan="3">TheLa NOTfonction functionNON</th></tr>
<tr>
<th>''x''</th> <th>NOTNON ''x''</th>
</tr>
<tr>
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</table>
 
InEn symbolicnotation formsymbolique, '''NOTNON''' x isest denotednoté x' (orou bypar aune barbarre oversur thele topsommet ofdu x).
 
'''AlternativeNotations alternatives notations:'''
:<math>x \times y = x \wedge y</math>
andet
:<math>x + y = x \vee y</math>