« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions

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</math>
 
Donc, la forme fermée de
:<math>1 + x + x^2 + x^3 + \ldots\,</math>
est
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Considérons un cas plus général :
:<math>
S = A + ABx + AB^2x^2 + AB^3x^3 + ...
</math>
où ''A'' et ''B'' sont des constantes.
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'''Solution'''
Soit G(z) la série de puissances de la suite, ce qui signifie que le coefficient de chaque puissance (en ordre croissant) est le nombre correspondant dans la suite. Donc, la série de puissances ressemble à
:<math>
G(z) = 1 + z + 5z^2 + 13z^3 + 41z^4 + 121z^5 + \ldots\,
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x_0 &=& 1 \\
x_1 &=& 1 \\
x_2 &=& 1
\end{matrix}
</math>
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\begin{matrix}
G(z) &=& \frac{1 - z + z^2}{(1 - z)(1 + 2z)(1 - 3z)}\\
G(z) &=& -\frac{1}{6(1-z)} + \frac{7}{15(1 + 2z)} + \frac{7}{10(1-3z)}
\end{matrix}
</math>
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== Dénombrement avancé ==
Considérons l'équation
:<math>a + b = n\,</math>; <math>a, b \ge 0</math> sont des nombres entiers
Pour un nombre entier positif fixé n, combien de solutions existe-t'il ? Nous pouvons compter le nombre de solutions :
:0 + n = n
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Maintenant, nous pouvons voir que le coefficient de z<sup>n</sup> (pour n ≥ 0) est clairement le nombre de solutions de a + b = n (a, b > 0).
 
Nous sommes prêts maintenant à déduire un résultat très important : soit <math>t_k\,</math>, le nombre de solutions de <math>a + b = n (a, b > 0)\,</math>. Alors, la série de puissance pour la suite <math>t_k\,</math> est
:<math>T(z) = (1 + z + z^2 + \ldots + z^n + \ldots)(1 + z + z^2 + \ldots + z^n + \ldots)\,</math>
:<math>T(z) = \frac{1}{(1 - z)^2}</math>
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Un petit conseil, si vous avez des soeurs, donnez-leur une quantité égale de poupées, parcequ'elles sont toutes adorables.
 
Maintenant, comme discuté ci-dessus, le nombre de solutions de
:<math>a_1 + a_2 + \ldots + a_m = n\,</math>
où <math>a_i \ge 0 (i = 1, 2, 3 \ldots m)\,</math>
est
:<math>{{n + m - 1} \choose {n}}\,</math>
i.e.
Ligne 413 :
 
=== Exercices ===
1. Soit
:<math>T(z) = \frac{1}{(1 + z)^2} </math>
la série de puissances de <math>t_k\,</math> (k = 0, 1, 2 ...). Trouver une formule explicite pour <math>t_k\,</math> en termes de ''k''.
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==== Exemple 3 ====
Supposons que si
:h(x) = f(x) + g(x)
alors
Ligne 566 :
Développons le coté droit en utilisant le développement du binôme
:<math>f(z) = \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i}z^i
= 1 - {n \choose 1}z + {n \choose 2}z^2 + ... + (-1)^nz^n</math>
dérivons les deux cotés
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i{n \choose i}iz^{i-1}
Ligne 684 :
 
:<math>\frac{2x} {(1 - x^2)^2} = 2x(1 + 2x^2 + 3x^4 + ....)</math>
par conséquent, nous pouvons conclure que
:<math>\frac{1} {(1 - x^2)^2} = 1 + 2x^2 + 3x^4 + ....</math>