« Approfondissements de lycée/Arithmétique modulaire » : différence entre les versions
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==== Existence d'un inverse ====
Il peut sembler curieux pour vous que nous avons seulement considéré l'arithmétique modulaire d'un nombre premier; il existe une raions pour cela. Et nous allons voir celle-ci maintenant.
Considérons l'arithmétique modulo 15 et notons que 15 est composé. Nous savons que l'inverse de 1 est 1 et celui de 14 est 14. Mais qu'en est-t'il de 3, 6, 9, 12, 5 et 10 ? Aucun d'entre eux ne possède d'inverse ! Et remarquez que chacun d'entre eux partage un facteur commun avec 15 !
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Pour revenir à l'exemple, nous savons que ''x'' existe, comme PGDC(811,216) = 1. Le problème avec la question ci-dessus est qu'il n'existe pas de manière rapide de décider la valeur de ''x'' ! La meilleure méthode que nous connaissons est de multiplier 216 par 1, 2, 3, 4... jusqu'à ce que nous obtenions la réponse, il existe au plus 816 calculs, manière trop fastidieuse pour les humains. Mais il existe une meilleure manière, et nous l'avons approchée quelques fois !
Nous notons que nous pouvions faire le ''saut'' juste avant vers les mathématiques rationnelles :
:<math>
\begin{matrix}
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!
|}
Ligne 749 :
== Pour aller plus loin ==
Ce chapitre a été une introduction sympathique à la théorie des nombres, une branche des mathématiques profondément belle. Elle est sympathique dans le sens qu'elle est mathématiquement légère et somme toute un peu facile. Si vous avez apprécié la matière de ce chapitre, vous seriez aussi enchanté par le chapitre [[AL Arithmétique modulaire approfondie
== Reconnaissance ==
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