David Legrand

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== Présentation ==
Bonjour, Jeje vienssuis un ex-wikipédien de la [[w:User:Dav 59|wikipédia francophone]] mais maintenant, je dois la quitter.<br />
Dans la vrai vie, je suis un étudiant en MP (maths physique), je prépare les concours pour les grandes écoles. J'suis un taupin en gros.
 
Sur jabber, mon adresse est leyeti59 (at) jabber.fr. Sur gmail, c'est leyeti59 (at) gmail.com.
* [[:w:Aide:Formules TeX]]
* <nowiki>[[Image:Image manquante.svg|thumb|right|]]</nowiki>:Image manquante pour demander ensuite les illustrations aux [[:w:Wikipédia:Atelier graphique|wikigraphistes]].
 
 
 
== Pour les tests ==
{{Exemple|Exemple de transformations géométriques|Problème de géométrie|Dans le repère des complexes, soit:<br />* Le point <math>A</math> d'affixe <math>z_A = 1 + i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>B</math> d'affixe <math>z_B = 1 - i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>C'</math> d'affixe <math>z_C' = 2i</math>.
 
1) Calculer l'affixe du point <math>C</math> tel que <math>C'</math> soit l'image de <math>C</math><br />par la rotation de centre <math>O</math> (d'affixe <math>z_O = 0</math>) et d'angle <math>\frac{\pi}{2}</math>
On a <math>z_C - 0 = \exp{\frac{i\pi}{2}}(z_C' - 0)</math>, d'où <math>z_C = 2i \times \exp{\frac{i\pi}{2}} = 2i \times (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) = -2 </math>.<br /><br />
2) Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormée directe est <math>(O, \vec u, \vec v)</math>
Faire le dessin.<br /><br />
3) Soit le triangle <math>(ABC)</math>
 
a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math>.
On fait <math>\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{1 + i\sqrt{3} + 2}{1 - i\sqrt{3} + 2} = \frac{(3 + i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{9 + 3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \exp{\frac{i\pi}{3}}</math><br /><br />
b) Déterminer la nature du triangle <math>(ABC)</math>
L'angle défini par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math> est <math>\frac{\pi}{3}</math>, le triangle est équilatéral.<br /><br />
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle.
Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit est le centre de gravité<br />(on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices...) sont confondues).<br />Soit <math>I</math> le milieu de <math>[AB]</math> (centre de gravité de deux points aux coefficients égaux).<br />On a <math>z_I = \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(z_B + z_A) = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}) = 1</math><br />L'affixe du centre de gravité <math>G</math> peut être calculé en définissant l'homothétie de centre <math>C</math> et de rapport <math>\frac{2}{3}</math><br />(d'après la définition du centre de gravité) qui transforme <math>I</math> en <math>G</math> .<br />On a <math>z_G = \frac{2}{3}(z_I - z_C) + z_C = \frac{2}{3}(1 + 2) - 2 = 2 - 2 = 0</math><br />Donc <math>G</math> est confondu avec <math>O</math>.<br />Le rayon du cercle circonscrit est bien entendu la distance <math>OC</math>, c'est à dire <math>|z_C - z_O| = 2</math>.<br />Le cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle est de centre <math>O</math> et de rayon <math>2</math>.<br /><br />
4) Soit <math>r</math> la rotation de centre <math>B</math> et d'angle <math>\frac{\pi}{3}</math>.
 
a) Quelles sont les images des points <math>(A, B, C)</math> par <math>r</math>. (on utilisera les notations <math>(A', B', C')</math>)
* <math>z_B' = z_B</math> car c'est le centre (le point invariant) de la rotation.<br />
* <math>\begin{matrix}z_A' &=& \exp{\frac{i\pi}{3}} (z_A - z_B) + z_B \\ \ &=& \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + i\sqrt{3} - 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} \\ \ &=& i\sqrt{3} - 3 + 1 - i\sqrt{3} = 1 + -2\\ \ &=& z_C\end{matrix}</math>
* De même, <math>z_C' = 1 - 2i\sqrt{3}</math>
On peut remarquer que l'image du triangle équilatéral <math>(ABC)</math> par la rotation <math>r</math> reste un triangle équilatéral <math>(AB'C')</math>.
b) Quelle est l'image de <math>\Gamma</math> par <math>r</math>
L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, il suffit de déterminer l'affixe du centre <math>\Omega_2</math> de l'image de <math>\Gamma</math>.<br />On a <math>\omega_2 = \exp{\frac{i\pi}{3}} (z_0 - z_B) + z_B = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(- 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} = - 1 - i\sqrt{3}</math><br />Le cercle <math>\Gamma_2</math> de centre <math>\Omega_2</math> d'affixe <math>\omega_2 = - 1 - i\sqrt{3}</math> et de rayon <math>2</math> est l'image de <math>\Gamma</math> par la rotation <math>r</math><br />
c) Déterminer l'antécédent de <math>\Gamma</math> par <math>r</math>
De la même manière, mais '''il faut faire attention à bien reconnaître l'image et l'antécédent'''.<br />On a <math>z_0 - z_B = \exp{\frac{i\pi}{3}} (\omega_3 - z_B)</math>.<br /> Grâce aux propriétés de l'exponentielle, on a <math>\omega_3 = \exp{\frac{-i\pi}{3}} (-z_B) + z_B</math>. Au final, <math>\omega_3 = 2</math><br />Le cercle <math>\Gamma_3</math> de rayon <math>2</math> et de centre <math>\Omega_3</math> d'affixe <math>\omega_3</math> est l'antécédent de <math>\Gamma</math> par la rotation <math>r</math>.}}
 
 
{{Exemple|Exemple de transformations géométriques|Problème de géométrie|Dans le repère des complexes, soit :<br />* Le point <math>A</math> d'affixe <math>z_A = 1 + i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>B</math> d'affixe <math>z_B = 1 - i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>C'</math> d'affixe <math>z_C' = 2i</math>.<br /><br />
1) Calculer l'affixe du point <math>C</math> tel que <math>C'</math> soit l'image de <math>C</math><br />par la rotation de centre <math>O</math> (d'affixe <math>z_O = 0</math>) et d'angle <math>\frac{\pi}{2}</math><br />On a <math>z_C - 0 = \exp{\frac{i\pi}{2}}(z_C' - 0)</math>, d'où <math>z_C = 2i \times \exp{\frac{i\pi}{2}} = 2i \times (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) = -2 </math>.<br /><br />
2) Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormée directe est <math>(O, \vec u, \vec v)</math><br />Faire le dessin.<br /><br />
3) Soit le triangle <math>(ABC)</math><br />
a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math><br />On fait <math>\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{1 + i\sqrt{3} + 2}{1 - i\sqrt{3} + 2} = \frac{(3 + i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{9 + 3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \exp{\frac{i\pi}{3}}</math><br /><br />
b) Déterminer la nature du triangle <math>(ABC)</math><br />L'angle défini par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math> est <math>\frac{\pi}{3}</math>, le triangle est équilatéral.<br /><br />
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle<br />Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit est le centre de gravité<br />(on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices...) sont confondues.<br />Soit <math>I</math> le milieu de <math>[AB]</math> (centre de gravité de deux points aux coefficients égaux).<br />On a <math>z_I = \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(z_B + z_A) = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}) = 1</math><br />L'affixe du centre de gravité <math>G</math> peut être calculée en définissant l'homothétie de centre <math>C</math> et de rapport <math>\frac{2}{3}</math><br />(d'après la définition du centre de gravité) qui transforme <math>I</math> en <math>G</math> .<br />On a <math>z_G = \frac{2}{3}(z_I - z_C) + z_C = \frac{2}{3}(1 + 2) - 2 = 2 - 2 = 0</math><br />Donc <math>G</math> est confondu avec <math>O</math>.<br />Le rayon du cercle circonscrit est bien entendu la distance <math>OC</math>, c'est-à-dire <math>|z_C - z_O| = 2</math>.<br />Le cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle est de centre <math>O</math> et de rayon <math>2</math>.<br /><br />
4) Soit <math>r</math> la rotation de centre <math>B</math> et d'angle <math>\frac{\pi}{3}</math><br />
a) Quelles sont les images des points <math>A</math>,<math>B</math> et <math>C</math> par <math>r</math><br />
b) Quelle est l'image de <math>\Gamma</math> par <math>r</math>}}
 
== PàS ==
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