« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Statique » : différence entre les versions
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Une fois identifiée la notion de force ( en newton) comme un vecteur, et donc la loi de composition dite du parallélogramme, bien dégagée par [[Simon Stevin|Stevin]](1548-1620), puis celle du produit d.F comme déterminant de rotation autour d'un axe (on dit "moment" du produit vectoriel), l'essentiel est fait. Roberval , puis Varignon(1687) finiront de codifier cette discipline de pratique très ancienne, dont l'application la plus remarquable est celle de démultiplication des forces [via la règle des travaux virtuels ; dont d'Alembert , puis surtout Lagrange seront les champions]:
la Statique est alors la partie de la Dynamique où le moindre DESEQUILIBRE entraînerait un MINUSCULE mouvement commençant, '''ce qui permet d'éviter tout calcul cinétique'''. C'est uniquement dans cet esprit qu'est la valeur formatrice de la Statique : on y forme une capacité d'
Nous ne poursuivrons pas les applications , le projet étant simplement de bien analyser et composer les forces. Alors la Dynamique prendra toute sa puissance, via les analyses de Huygens(1629-1695)( 1 descartes /s = 1 newton) et surtout de Newton( les Principia ,1687).
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Bibliographie : Mach, Duhem, Bottema, P.Provost
== Préliminaires ==
On ne saurait attaquer un programme de statique, sans une bonne connaissance des vecteurs de R² et de la trigonométrie.
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== Statique du point matériel ==
=== Expérimentation ===
Soit un plomb P attaché à une ficelle OP, laquelle est suspendue par deux fils dynamométriques (un appareil indique leur tension) AO et BO . A, B, O, et P sont dans le même plan et en déplaçant les points A et B, on peut constater que la disposition des fils AO et BO suivent une règle dite PFS ( principe fondamental de la statique) du point matériel : les Tensions des fils , Ta et Tb s'ajoutent vectoriellement pour donner -mg , l'opposé du poids du plomb.
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Pour qu'un point matériel, O, soit en équilibre, il faut que la somme des forces agissant en O soit nulle.
=== Exercices ===
*exRemorqueurs/. Un navire est tiré par deux remorqueurs R1 et R2 par la proue P du navire. l'angle R1PR2 est de 30° et la tension de chaque cable est T = 30 000 N : quelle est la force nécessaire pout tirer le navire.
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*exChemin de Halage : 0n doit remorquer un canot sur le bord d'une rivière. Deux chemins de halage existent, et l'angle des deux élingues est 15° et 30°. La résistance au flot est de 500 N : trouver la force exercée par les 2 bateliers.
*exChariot sur plan incliné de 15° : si le chariot pèse 500N, quelle force horizontale doit -on exercer? Existe-t-il une force inféreiure possible ?
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F horizontale = 500N.tan15° et Fminimale = 500N.sin15°
== Statique du corps rigide dans le plan ==
=== la faute logique du palonnier ===
Mach, dans sa très fine analyse critique du développement de la mécanique, met bien l'accent sur la progression assez caractéristique de celle-ci : l'expérience ancestrale des machines se transmet et est vécue comme "normale". Puis des "théoriciens" viennent rendre idéales ces machines pour tenter d'y déceler leur principe commun ; il y a accrétion progressive d'un savoir-faire à un savoir, qui conduit lui-même à d'autres inventions, puis d'autres remarques, en une succession d'avancées, d'impasses, de fautes logiques corrigées.
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Ayant 3 boeufs, on fixera un attelage en ligne de 2 boeufs en A1 , mais on placera le joug du troisième en B2 tel que OB2 = 2 OA2. Le palonnier sera équilibré.
De même fonctionnent les balances dites romaines : la somme des di.Fi permet de calculer le poids
*Vient un théoricien nommé Archimède(-287;-212Syracuse), suivi par Stevin(-1620) , Galilée(1568-1642) et Lagrange(1736-1813): on obtient la gedanken experiment suivante :
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Scier un trait vertical à la distance 2l de l'extrémité ne change rien. Scier un trait horizontal qui partage la plinthe en trois morceaux : un fléau de longueur AB = 2l+2n , et deux plaquettes de longueur respectives 2l et 2n , que l'on continue à faire tenir en leur position initiale par deux fils verticaux traversant le fléau en AF1 = l et AF2 = 2l+n. Tout restant en place indentiquement, on admet volontiers que l'équilibre subsiste, chaque plaquette étant d'ailleurs en équilibre puisqu'également suspendue par son milieu. Tourner alors chaque plaquette de 90° ne doit pas changer l'équilibre, ce qui se voit aisément ( en répétant l'opération, ad libitum , on obtient un "mobile" de Calder !). Reste le calcul magique : La plaquette P1 est de poids 2l.K et le fil F1 est à la distance OF1 := d1 = l+n -l = n . De même la plaquette P2 de poids 2n.K est suspendue au fil F2 à la distance OF2 := d2 = -l .
L'équilibre a donc lieu pour d1.P1 -d2.P2 = 0 . Dit autrement , l'expression d1.P1 -d2.P2 est le déterminant de l'équilibre autour de O : fût-il positif (resp négatif), il s'en suivrait un basculement côté P1 (resp côté P2).
Convaincu ? si oui, relire Mach et '''chercher l'erreur'''.
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Alors reprenant le fléau du palonnier F1OF2 et faisant tourner la figure autour de O, transformons-le en un treuil différentiel de deux poulies de rayon d1 et d2 : les forces des poids P1 et P2 n'ont plus besoin d'être verticales : le déterminant de rotation est donc la distance de O à la direction de la force , les points d'action F1 et F2 n'ayant plus de raison d'être alignés.
*La représentation exacte du phénomène surgit alors : si un seau d'eau suspendu par le brin F1 est en non-déséquilibre par l'action du brin F2 tendu par la samaritaine , c'est que lors d'un infime déplacement, la samaritaine aura tiré de
*Précédemment, nous avons utilisé la loi de Galilée du plan incliné ( la loi des cordes : l'accélération est g. sin<math>\alpha</math>). Son raisonnement tient au fond via l'argument de Stevin(1548-1620): la chaîne fermée de [[Stevin]] posée sur le plan incliné tient en équilibre indifférent, quel que soit la forme du prisme triangulaire AOB sur laquelle elle est posée : car par symétrie les extrémités de la portion suspendue de chaînette suspendue tirent également sur les brins OA de masse P = OA.K et OB de masse Q = OB.K et si l'ensemble tourne un peu , alors le brin court (disons OB) est descendu de l/sinB et le brin long est monté de l/sinA , la portion de chaînette étant resté invariante : il faut avoir visionné (pour un prisme demi-équilatéral)ces x chaînons côté B descendre, alors que dans le même temps évidemment 2x chaînons sont montés de la même distance , donc de la HAUTEUR moitié, pour bien assimiler tout cela.
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Nous renvoyons en discussion cette magnifique leçon d'humilité de Stevin.
=== Expérience ===
Soit un corps rigide mobile dans un plan. Soit G son centre de masse. Exerçons une force F horizontale dont la ligne d'action passe par G : le solide sera translaté sans tourner.
par contre , si on exerce une force F' égale mais parallèle à F de la distance d , le point G se translatera de même, MAIS le solide tournera. On dit que le glisseur-force F' détermine un "déterminant-de-rotation"
== Théorème de Varignon ==
Seuls comptent la résultante F' et son moment d.F' : on parle d'un vecteur-glisseur. L'ensemble des vecteurs glisseurs agissant sur un solide s'appelle un torseur. Deux torseurs sont considérés identiques si ils ont même résultante et même déterminant de rotation en un point. Si F' est décomposé sur deux axes en vecP +vecQ de distances d1 et d2 au point G , on aurait la même action : F'd = P.d1 +Q.d2. Le point d'application exact d'un glisseur sur sa droite de glissement est ainsi considéré comme inimportant [dans la mesure ou l'on considère le solide comme indéchirable ; en pratique tout le monde sait que le point d'attache d'une caravane sur une voiture est renforcé pour subir les efforts exigés!].
=== Couple et torseur ===
2 forces opposées mais
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== Machines simples et travaux virtuels ==
ébauche : cf Mach p58( Jean Bernouilli, 1717)
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*exMalle :
deux porteurs Alex
Trouver les forces exercées par Alex et Bob.En quoi un simple chariot à roulettes eût-il soulagé les porteurs ?
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*exPasserelle :
deux ouvriers Alex et Bob se trouvent sur deux échafaudages distants de L = 2.5
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*exPotence :
Une simple barre AB articulée en A fait un angle de 45° avec la verticale , en supportant en B un poids P = 1000 N et la traction horizontale en T étant de 1100 N. Le chef de chantier ne comprend pas , jusqu'au moment où il pense au poids de la barre p. Quel est le poids p
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*exMât télescopique :
Un mât télescopique en 3 morceaux , OA = 3m de poids 2000 N , AB = 3m de poids 1800 N et BC de poids
Comparer le travail du treuil selon que le mât est ou non déplié.
=== Correction des exercices ===
*exMalle :
Ligne 212 :
*exBoule dans dièdre :
la symétrie de la figure donne égalité pour les 2 forces d'appui qui se composent donc en une seule
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*exPasserelle :
Si Bob place son madrier de 0.5 m +qq cm dans le vide et se place à l'extrémité pour l'affermir. Alex pose alors son madrier juste sur celui de Bob, soit 0.5m sur son echafaudage et 1.5m reposant juste sur l'autre. Problème : arrivera-t-il à passer ? On imagine sans conteste que le point le plus critique sera quand il sera à 2m au point de superposition des madriers : par rapport au point de bascule, le moment est -Pbob*1.5m -(1.5/2).200N.0.75m
Palex -3Pbob + 400 N - 225 N. Donc Palex doit être inférieur à 3Pbob -185N : ouf!Alex peut passer : il peut même se donner un peu de marge, Bob avançant son madrier de qq cm de plus !
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Dans le cas de machines simples, peu importe la manière de lever le mât. Par contre du point de vue pratique, il convient de prendre la ou les machines de meilleur rendement , compte-tenu des imperfections diverses.
== Exercices complémentaires ==
* exVerre d'eau :
Un verre d'eau de masse m ; on y verse de l'eau : montrer que le minimum d'altitude de G se produit quand G est à la surface de l'eau.
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*exHexagone :
Un hexagone régulier de centre O , formé de 6 barres égales, de poids P, articulées sans frottement formant le pourtour ABCDEFA est suspendu en A , un fil AD maintenant la forme régulière de l'hegagone
Trouver la tension du fil AD.
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Reprendre avec un pentagone suspendu en A et le fil vertical AM passant à la moitié de la 3ème barre.
=== Corrigé des exercices complémentaires ===
*exVerre d'eau :
En effet , si on rajoute un peu d'eau , le nouveau G est au-dessus de Go;
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La réponse immédiate est P.h.N = 90 000 J (ce qui est, entre parenthèse, très peu pour une machine : brûler une mole de méthane rapporte 400 kJ environ). Mais il faut justifier la réponse ! Car il faut tenir compte de la corde. En effet l'ouvrier laisse la corde à terre une fois tirée.Au départ, il y a une corde de 20m et G à 5m. A la fin une corde de 10m et G à 5m. L'ouvrier a donc gagné 500 J sur les 3000 J. Mais à la redescente il tire la souris pour remonter la corde et effectue le travail de 500 J ; la réponse est bien 90 000 J .
On peut le vérifier en sommant la force exercée par l'ouvrier à chaque altitude z
F(z) = P + p(h-z)/2h - p/2 d'où le travail Ph -p h²/4h = Ph -ph/4 = 3000-500 N
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Pour le pentagone régulier, F = 5P/2.(1+1/sqrt(5)).Y a-til une raison pour laquelle cette tension est minimale pour l'ensemble des pentagones?(Hint: penser à associer deux configurations de même tension).
== Treillis, poutres et cables ==
ébauche :
Ligne 341 :
Evidemment, le torseur de (S1) sur (S2) est l'opposé ( 2ème loi de Newton).
Rappel bref : ce sont les patins de freins qui stoppent la roue de vélo , mais le pneu qui permet au vélo de ralentir. De même , c'est le travail sur le pédalier qui permet d'avancer, mais c'est la route qui tire la roue arrière gràce au frottement. Il existe une manière ( plus ou moins instable) de rouler "rodéo" sur la roue arrière ; néanmoins, on voit de plus en plus ces petits véhicules individuels à deux roues de même moyeu dont on règle la vitesse par changement d'appui, un peu comme
== Conclusion ==
Ligne 363 :
Idem avec le triangle équilatéral.(14pts)
=== Corrigé du devoir ===
== Retour ==
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