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== Croisements ==
 
=== *'''Le TGV''' ===
 
c'est un exemple classique:
La cinématique du [[jonglage]] est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.
 
=== les trains de Foucault ===
 
Cet exemple est célèbre, car il permet de voir "tourner la Terre" (cf [[pendule de Foucault]]), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S: sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE,<math>\omega_o</math> (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c'est à dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord. D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes, car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même :
 
 
==== Aparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée : ====
 
 
*la vitesse à chaque moment v(t).
 
=== Cas v(t) ===
 
Dans ce second cas( le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):
'''Exemple de Galilée''': si la vitesse augmente linéairement v(t) = gt , le déplacement sera s(to) = to*gto/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 g to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.
 
=== Cas v(s) ===
 
Dans ce cas, on parle de [[diagramme des espaces]] : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours( de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps. Si l'on reprend l'exemple précédent, il faut prendre la formule de Torricelli : v(s) = sqrt(2gs); donc ds/sqrt(s) =sqrt(2g).dt ; soit après intégration :
 
 
=== Exemple classique ===
Il convient de bien faire la distinction entre v(t) et v(s), et souvent les jeunes enfants s'y laissent prendre:
 
 
 
=== Isomorphisme ===
 
Il faut bien comprendre qu'en cinématique, le problème se réduit à résoudre 2 '''équations différentielles''' simple : v= f(t) et v = g(x) et il convient de ne pas les confondre. Il n'est pas très évident au départ de passer de l'une à l'autre. Reprenons l'exemple de Galilée d'accélération constante , disons ao , et donc v(t) = ao t + v(0) = f(t) donc x(t) = F(t) où F(t) est primitive de f(t) . En éliminant t entre f(t= et F(t) , on aura la relation v = g(x), ici v²(x) -v²(0) = +2ao (x-x(0)), soit v = g(x) ( = sqrt( 2ao.x) , dans le cas le plus simple.
Voici un exemple classique sur lequel ont achoppé beaucoup d'élèves (même des bons) : résoudre <math> \frac{d^2 \theta}{dx^2} + e^{\theta} = 0</math> . Beaucoup ont déclaré : on ne sait pas faire! Alors même que l'exercice <math> \frac{d^2 x}{dt^2} + e^{x} = 0</math> avait donné 80% de succès ! Évidemment un correcteur ne sait que dire ! il constate ! l'équation du second degré b y²+ cy +a =0 est plus dure à résoudre , paraît-il ! Le constat est là . Tout professeur qui n'explique pas '''longtemps''' tout cela aux élèves faillit à sa mission.Il est logique après d'en récolter les conséquences.
 
=== (Exemple relativiste de Bertozzi) ===
 
cet exemple est de niveau nettement plus élevé et peut être sauté en première lecture.
c'est la rapidité qui croît linéairement r = gT avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent: cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même)
 
On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T fonction monotone de t est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)
 
enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
 
Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .
 
Et voici plus SPECTACULAIRE : la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps to, a la vitesse v(to)= g.to/sqrt[1+(g.to/c)²], à la position z(to) = c²/g( sqrt[1+(gto/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est "comme rien" dans le référentiel de vitesse v(to); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !
 
mais attention!dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 : Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), le résultat escompté!
 
Torricelli, lui-même, aurait tiré son chapeau devant Einstein : le principe de Relativité de Galilée continue de marcher ! mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v < c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.
 
== Conclusion-Résumé ==
Cette leçon n'apporte pas grand-chose du point de vue physique; mais évidemment du point de vue philosophique, cela a pris un temps considérable, lorsque le temps était représenté par une longueur sans unité, pour distinguer ce qui nous semble évident aujourd'hui: v= f(t) et v= g(x) et donc écrire :
 
<math> x(t) = \int_0^t f(u)du </math> ET <math> t = \int_0^s \frac{1}{g(x)}dx </math>
 
En fait, cela a pris quelques dizaines d'années après que Galilée et Cavalieri aient commencé à y réfléchir.
 
On verra dans la prochaine leçon-6 (plan de phase)que l'équation dx/dt = g(x) est très commune et qu'il convient de bien savoir " l'intégrer".
Mais il est clair que ce sont des geganken-chefs de gare regardant passer des gedanken-trains qui ont guidé Einstein, à partir du moment où il voulait résoudre ce paradoxe : v < c toujours ! fin d'aparté]
 
== Exercices ==
Heureusement , les exercices ne sont pas tous du niveau de l'exemple de Bertozzi!
 
{{exemple|Enoncé|loi de conservation énergétique de Torricelli(1608-1647)|<math> \frac{1}{2}mV^2 + mgz(s) = cste </math>}}
 
=== Exercice-vallon ===
Une perle se déplace sur une ligne horizontale sans frottement avec la vitesse Vo ; elle glisse alors dans un vallon demi-circulaire de rayon R , au point A et ressort au point B , 2R plus loin avec la même vitesse Vo ( on suppose bien sûr que les virages ont été alésés!). A-t-elle gagné ou perdu du temps ? Ceci reste-t-il vrai pour toute forme de vallon?
 
==== Solution-vallon ====
Le puits étant symétrique, il faut et il suffit de savoir si le temps de remontée T est supérieur à R/Vo . Or à la remontée la vitesse v(s) vaut sqrt[ Vo²+2g cos (s/R)] . Le problème se ramène donc à savoir si : <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \frac{1}{\sqrt(1 + k cos \theta)} > 1 ; avec, \cdot k = 2gR/V_o^2</math>.
 
La réponse est donc : si la perle va vite (k < 1), alors elle est retardée (minorer par k=1 donne sqrt(2) .Ln(1+sqrt(2) qui est plus grand que 1 . Par contre si k est très grand, c'est à dire à la limite, si la particule tombe dans le vallon avec une vitesse quasi-nulle , elle mettra une demi-période pendulaire pour arriver sur l'autre bord , ce qui sera beaucoup moins que 2R/Vo :
conclusion : il y a une vitesse critique Vo pour laquelle c'est équivalent; au-delà la perle perd du temps.
 
=== Exercice- monticule de Huygens ===
Même exercice que précédemment mais la perle doit escalader un monticule en forme d'arche de cycloïde ( là encore les coudes ont été alésés): bien sûr Vo > sqrt(2ga).De combien retarde-t-elle?
 
==== Solution monticule de Huygens ====
Là , c'est clair, elle monte la cote plus lentement sur un chemin plus long : il y a retard sur la moitié. Le retard double sur l'autre moitié. Le calcul est aisé si Vo est très grand : il suffit de dire que V =~Vo tout le temps , et donc que le retard est [L-2Pi.a]/Vo et la longueur de l'arche d'une cycloïde est le problème de Pascal-Dettonville : L = 8a . Soit retard = (8-2Pi).a/Vo . Si Vo = sqrt(2ga +eps) , le retard peut être aussi long qu'on veut.
 
=== Exercice crucial du code de la route : la distance de freinage ===
Quand les pneus ne dérapent sur de l'huile ou du verglas, ils ont été calculés pour donner la meilleure adhérence possible avec l'asphalte. néanmoins au mieux , la décélération ne peut dépasser 0.6 g. Compter un quart de seconde( soit to) le temps d'appuyer sur le frein , et calculer la distance d'arrêt .
==== distance de freinage ====
Soit Vo la vitesse initiale de la voiture, la voiture parcourt Vo.to + Vo²/(1.2 g). Application numérique: à 144km/h , soit 40m/s , Voto fait 10m. et le deuxième terme fait 400/3 =399/3 = 133 m !
 
=== la mort d'Erton Senna ===
 
Le grand pilote Erton Senna a heurté à 288km/h un poteau bordant la piste: on peut estimer la durée du crash à 1 seconde . La cervelle est molle et se déforme à 4.g .La tête des conducteurs est assez bien fixée dans le cockpitt. Montrer qu'on a retrouvé Senna sur son siège, la cervelle ayant pressé sur les orbites oculaires.
 
Montrer qu'un crash à 144km/h a similairement opéré sur Albert Camus.
Montrer que une voiture "pliable" + un air-bag , permettant un "amorti en 2s ", l'aurait peut-être sauvé.
 
==== réponse ====
c'est trop simple ! réduction de 80m/s en 1s , cela fait 8g. Le crâne ne bouge pas , la cervelle oui.
A 4g , c'est le fameux voile noir sur les yeux;
pour Albert Camus , les tractions avant de l'époque étaient plutôt rigides et c'était l'habitacle qui ne l'était pas . De nos jours, l'habitacle très rigide écrase "doucement" l'avant ; les air-bags font le reste , dans la mesure du possible.
 
Évidemment on ne peut pas rendre l'habitacle rigide et bien "encaisser" les chocs latéraux.Il faut absolument que la voiture ne dérape pas de manière inégale avec un frein avant puissant et déséquilibré: les révisions des freins , c'est une nécessité. L'alcool et le shit c'est une affaire de civisme.
 
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