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[[Approfondissements de lycée]]
 
== Introduction ==
 
Bien que les nombres réels peuvent, dans un certain sens, représenter toute quantité naturelle concevable, ils sont dans un autre sens "incomplets". Nous pouvons écrire certains types d'équations à coefficients réels que nous désirons résoudre, mais qui n'ont pas de solutions à nombres réels. L'exemple le plus simple de ceci est l'équation :
Le domaine des '''nombres complexes''' est dominé par ce nombre ''i''. Puisque ce nombre n'existe pas dans le monde réel, et vit seulement dans notre imagination, nous l'appelons l'''unité imaginaire''. (Noter que <math>i\,</math> n'est pas choisi comme nom de variable pour cette raison).
 
=== L'unité imaginaire ===
 
Comme mentionné ci-dessus
Comme vous pouvez le voir, il existe un motif.
 
=== Exercices ===
# calculer <math>i^{25}</math>
# Calculer <math>i^{100}</math>
:[[HSE Complex number solutions|Solutions des exercices]]
 
=== Les nombres complexes comme solutions des équations quadratiques ===
 
Considérons l'équation quadratique :
\begin{matrix}
x^2 - 6x + 13 & =& 0 \\
x & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \times 13}}{2} \\
x & = & \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} \\
x & = & \frac{6 \pm \sqrt{-1}\sqrt{16}}{2} \\
Le ''x'' que nous obtenons comme solution est ce que nous appelons un nombre complexe. (pour être précis, l'ensemble de solution de cette équation possède deux nombres complexes, toutes deux valides pour x.) Elle consiste en ''deux'' parties : une partie ''réelle'' : 3 et une partie ''imaginaire'': <math>\pm 2</math>. Appelons la partie réelle ''a'' et la partie imaginaire ''b''; alors la somme <math>a+bi = 3 \pm 2i\,</math> est un nombre complexe.
 
Noter qu'en définissant simplement la racine carrée de moins un, nous nous sommes déjà donné la capacité d'assigner une valeur à une équation quadratique plus compliquée et que l'on avait prévue insolvable. Il apparaît que 'toute' équation polynômiale de degré <math>n</math> possède exactement <math>n</math> zéros si nous admettons les nombres complexes; ceci est appelé le [[Théorème fondamental de l'algèbre|Théorème fondamental de l'algèbre]].
 
Nous notons la partie ''réelle'' par ''Re''. C.a.d. :
</math>
 
=== Exercices : ===
# Vérifiez vous-même que ''x = 3 - 2i'' est aussi une solution de l'équation.
# Placez les points A(3, 2) et B(3, -2) sur un plan XY. Tracez un segment entre l'origine et chaque point.
# Calculer la longueur de AO (la distance du point A à l'origine) et BO. Notez-les par <math>r_1 \ \mbox{et} \ r_2</math> respectivement. Qu'observez-vous ?
Substituez ''z'' et ''w'' dans l'équation quadratique ci-dessus en utilisant les valeurs que vous avez calculées dans les exercices 3 et 4. Qu'observez-vous ? Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ?
 
== Arithmétique des nombres complexes ==
 
=== Addition et multiplication ===
Cela est assez intuitif, illustrons cela avec quelques exemples :
:<math>
: <math>\frac{3 + 2i} {7 - \sqrt{5}i}</math>. Notez que la racine carré est seulement sur le 5 et non sur le ''i''.
 
=== Exercices : ===
:<math>
\begin{matrix}
# (x + y)(x - y)
 
=== Division ===
Une manière de calculer :
:<math>
Alors ''zw'' est un nombre réel. Cela est vrai pour tout 'a' et 'b' (tant qu'ils sont des nombres réels).
 
=== Exercices ===
Vérifiez vous-même que le produit ''zw'' est toujours un nombre réel.
 
=== Conjugué complexe ===
Ceci conduit à l'idée de conjugués. Par exemple, le conjugué de ''2 + 3i'' est ''2 - 3i''. Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel. Si ''z'' est un nombre complexe, alors son conjugué est noté <math>\bar{z}</math>. Symboliquement si
:z = a + ib
''-20 - 9i''.
 
==== Lois de conjuguaison ====
:<math>
\begin{matrix}
Ceci confirme la loi d'addition des conjugués.
 
=== Exercice ===
:Vérifiez vous-même que la loi de multiplication est aussi vraie.
 
== La racine complexe ==
Maintenant que vous êtes équipé avec toutes les bases des nombres complexes, vous pouvez aborder un chapitre un peu plus difficile, la recherche des racines.
 
\\
-3 &=& a^2 - b^2 &\mbox{(1)}&\\
4 &=& 2ab &\mbox{(2)}&\\
\end{matrix}
</math>
Résolvez (1) et (2) simultanément pour extraire ''a'' et ''b''.
 
=== info -- Rechercher les racines carrées ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Rechercher la racine d'un nombre réel est un problème très difficile. La plupart des gens ne peuvent pas trouver une estimation de <math>\sqrt{2}\,</math> sans l'aide d'un calculateur. Beaucoup de programmeurs, après des années de travail sur ordinateur, n'ont encore aucune idée de la manière dont le calculateur le fait. La méthode moderne d'approximation de racines implique la compréhension d'une partie des mathématiques appelée le développement des séries de Taylor. Le chapitre est généralement couvert la première année d'enseignement supérieur car il requiert une compréhension élémentaire d'une branche importante des mathématiques appelée l'analyse.
Il apparaît que le système d'équations (1) & (2) est difficile à résoudre. Il existe une manière facile de calculer les racines de nombres complexes appelée le théorème de De Moivre. Avant de le voir, essayez ces exercices.
 
=== Exercices ===
# Trouver <math>(3 + 3i)^{\frac{1}{2}}\,</math>
# Trouver <math>(1 + 1i)^{\frac{1}{2}}\,</math>
 
 
== Le plan complexe ==
=== Les nombres complexes comme paires ordonnées ===
On peut noter, à ce niveau, que chaque nombre complexe ''a+bi'', peut être précisé completement avec exactement deux nombres réels : la ''partie réelle'' ''a'', et la ''partie imaginaire'' ''b''. Ceci est vrai pour ''chaque'' nombre complexe ; par exemple, le nombre 5 possède la partie réelle 5 et la partie imaginaire 0, tandis que le nombre 7''i'' possède la partie réelle 0 et la partie imaginaire 7. Nous pouvons nous servir de cet avantage pour adopter un schéma alternatif d'écriture des nombres complexes : nous pouvons les écrire comme des paires ordonnées, sous la forme ''(a, b)'' à la place de ''a+bi''.
 
Cela paraît plus familier : elles sont exactement les paires ordonnées que nous utilisons pour représenter les points dans le plan. En fait, nous pouvons les utiliser pour cet usage; le plan qui en résulte est appelé le ''plan complexe''. Nous appelerons l'axe des abscisses l' ''axe réel'', et l'axe des ordonnées l' ''axe imaginaire''.
 
=== Le plan complexe ===
Nous pouvons voir à partir de ce qui précède qu'un nombre complexe unique est un point dans le plan complexe. Nous pouvons aussi représenter des ''ensembles'' de nombres complexes; ceux-ci forment des ''régions'' du plan. Par exemple, l'ensemble
:<math>\{a+bi | -1 \le a \le 1, -1 \le b \le 1\}</math>
est un carré de coté 2 centré sur l'origine (Voir le diagramme suivant). [[Image:Region on complex plane.png|Région sur le plan complexe]]
 
=== Fonctions à valeurs complexes ===
De la même manière que nous pouvons utiliser des fonctions qui à partir de valeurs ''réelles'' ont des valeurs ''réelles'', nous pouvons créer des fonctions à partir de nombres complexes vers les nombres réels, ou à partir de nombres complexes vers les nombres complexes. Ces dernières fonctions sont souvent appelées fonctions ''à valeurs complexes'', parce que leur valeur de sortie est un nombre complexe; il est implicite que leur argument est complexe.
 
prend un point dans le plan complexe et l'augmente de 1. Si nous l'appliquons à l'ensemble de points du carré ci-dessus, elle le déplacera de un verticalement, c'est à dire qu'il "reste" sur l'axe réel.
 
== Théorème de De Moivre ==
Si<br />
<math>{z = r e^{i\theta} = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}\,</math><br />
alors<br />
<math>{z^n = r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))}\,</math>
 
== Racines complexes de l'unité ==
Les racines complexes de l'unité de degré n est l'ensemble de solutions de l'équation <math>x^n = 1\,</math>. Elles sont toutes de module 1. Elles forment un groupe cyclique multiplicatif. Pour tout n donné, il existe exactement n racines, et elles forment un polygone à n cotés régulier dans le plan complexe muni du cercle unité.
 
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