« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m →‎Puits : ré-écriture complète
Ligne 126 :
 
===Puits===
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son, égale à 1000/3 m/s).
 
Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomberchoir un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au tempsbout de T = 2 s : trouver la hauteur H (on appellera c ,prend la célérité du son,c, égale à 1000/3 m/s ; et g = 10 m / s² ; on appellera α la quantité sans dimension gT/2c).
'''solution ex.Puits''' : On aura la durée de chute t₁ telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit
T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x > 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 et on en prend la racine positive.
 
'''solution ex.Puits''' :
Allyson prend alors sa calculette et trouve x= 4,34546 ; puis H = 18,883 m
 
la durée de chute t₁ est telle que H = ½ g t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct₂ ; soit T = durée totale = t₁ +t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x > 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 , etdont on en prend la racine positive, x= 4,34546 , d'où H = 18.883 m.
Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m
De même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire : H = 1/2 g(T-H/c)² = 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2
 
remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( etquid de la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,000000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10 m/s² ; on se contente de H = 18.9 m .
Béatrice dit : maiz'alors, il suffit de dire que si t₂= H/c, alors t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)²
 
Ali, 15 ans, a proposé la solution suivante : le paramètre alpha est petit , voire négligeable , alors H = Ho = 20m ; donc H < Ho . Mais alors , la durée t₂ est inférieure à Ho/c et donc H est supérieur à 1/2 g ( T - Ho/c )² = 18.82 m , soit H1 . Conclusion H1 = 18.82 m < H < Ho = 20m .
L'équation du second degré obtenue est alors : H² - 2H(c²/g + cT) + c²T² = 0
 
Béa, renchérit : mais on peut poursuivre ce raisonnement ! et cette fois soit H2 = 1/2 g ( T - H1/c )² = 18.885m , on aura H1 < H < H2 ; soit H = 18.9 m
En poursuivant les calculs littéraux, on retrouve le résultat exact d' Alliette.
 
EmmyCat, matheuse17 ans, finitintervient : soitl'équation ypeut se réécrire aisément H = 1/2 g(x T-t₂)² = 1/2 g (T - xH/c)² , et yau =fond x, ;cela consiste à trouver la solution itérative de cette équation Z = f(Z) par le théorème du point fixe. La suite récurrente Hn converge en "araignée" vers la solution d'autant plus vite que [y|f'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88885 m ... H_limite = 18.883.
Catherine dit : t₁ < T donc H = 1/2 g.(t₁)² < 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc t₂ = H/c < Ho/c = 60 ms ; mesalors t1 > T-Ho/c ; et H > 1/2 g (T-Ho/c)² , soit H1 = 18.82m .
 
Dédé, 17 ans , renchérit : et si on est près du point fixe, on peut raisonner ainsi : la première réduction est -1.2 m ; SI les réductions sont en progression géométrique de raison k = -6/1000 , alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS.
Daisy s'empresse : donc H < H2 = 1/2 g (T-H1/c)². Le démontrer.
 
Eva, 19 ans , remarque : OUI, mais il vaut mieux sortir explicitement la physique hors des équations , en posant H = 1/2 gT². Z ; alors Z sans dimension satisfait l'équation Z = ( 1-αZ )² = 1 - 2 αZ + α² Z² , ce qui se réécrit Z = 1/(1+2α) + ...négligeable.
Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en "araignée" vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m .
 
Fifi, 20 ans , poursuit : OUI , l'avantage de raisonner en termes a-dimensionnés est que les équations à traiter "parlent" mieux à un matheux ; il peut même les reconnaître ! Ici, c'est un peu fat et prétentieux ; mais si on raisonne sur X = sqrt(H) / sqrt(1/2 gT²) , l'équation de départ s'écrit : X = 1 -α X² , équation du second degré ""connue"" , dont la solution positive est c(-alpha) , fonction génératrice des nombres-de-Catalan ( cf la Wp ) :
remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du puits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, d'ailleurs on a pris g = 10.
 
X = c(-α) = 1 - α + 2 α² - 5 α³ + ... ; et bien sûr Z = c(-α)^2 .
Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H < 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (1+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est pareil.
 
Gégé conclut : OUI , fort intéressant ; car cela permet maintenant de calculer de tête la solution du problème historique suivant : Mersenne ( 1645 à Rome ) lâchait des poids depuis les coursives de la cathédrale Saint-Pierre. Si T était 2*2s , quelle était la hauteur H ?
Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique 3/. exploiter la solution du point de vue physique.
 
On peut répondre immédiatement 2^2 * 20 m * c(-2α) ^2 = ~ 70m ; mais là la résistance de l'air ne peut être négligée ! Ce fût LE casse-tête de Mersenne.
Reprenons le tout pour fixer la démarche :
 
-----
Un puits , 2s , g = 10 et c = 333 m/s . Donc en gros H = 20m , et le retour du son en 60ms : le prof nous fait calculer des clopinettes..., soit !
 
mise en équation : H = 1/2 g (T -H/c )²
 
et sortir la physique des équations : H = 1/2 gT². Z , soit Z = ( 1 - gT/2c .Z )^2 , et on passe aux maths
 
résoudre l'éq en Z : c'est une éq du 2eme degré => résultat
 
ou résoudre Z = f(Z) = f(f(Z)) , etc , point-fixe => résultat
 
interprétation-du résultat : pas la peine d'aller au delà du cm ! on a pris g = 10 m/s²
 
''Ou bien'', selon la première méthode via sqrt(H) = x :
 
mise en équation : x sqrt(2/g) + x²/c = T , et sortir la physique des équations : poser x = T.sqrt(g/2). X ; soit X = 1 - α X², avec α = gT/2c,
 
évidemment la même équation que précédemment ( car Z = X² )
 
Puis résoudre en math : l'avantage pour un matheux expérimenté est qu'il reconnaît l'équation X = 1 - α X² ! dont la solution-ici est X = c(-α) , où c(x) désigne la fonction génératrice des nombres de Catalan , donc X = 1 - α + 2α² - 5α³ + ... . On pourra vérifier. Certes , ici pour un exercice de début, il est prétentieux d'invoquer les nb de Catalan, mais c'est juste pour indiquer qu'un exercice bien "normalisé" peut se ramener à une étude connue.
 
Ici, la phase essentielle fût : repérer le paramètre sans dimension, petit, gT/2c . Cette analyse dimensionnelle se retrouvera dans moult exercices ultérieurs.
 
exo * : si l'on a bien assimilé tout ce qui a été dit précédemment , on demande, de tête , de calculer la profondeur du puits pour T = 4s . Catherine avait répondu instantanément !
----
 
=== Expérimentation(*)===