« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre » : différence entre les versions

'''solution ex.Puits''' : On aura lela tempsdurée de chute t1t₁ teltelle que H = ½ g t1t₁² , et la durée de retour du son t₂ telle que H = ct2ct₂ ; soit

T = tempsdurée totaltotale = t1t₁ +t2t₂ = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x > 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 et l'on en prend la racine positive.

Alliette, elle, pousse les calculs littéraux jusqu'au bout et trouve x² = H = 1/2 gT².[ 2 / (1 + sqrt(1+2gT/c))]² = 20. (0,94415) = 18,883 m

AprèsDe même, après moult calculs, l'équation en x²= H peut se réécrire : H = 1/2 g(T-H/c)² ;= 1/2 gT² ( 1 - H gT/2c)^2

Béatrice dit : mais maiz'alors, il suffit de dire que si t2t₂= H/c, alors t1t₁ = T- H/c , donc H = 1/2 g(T-H/c)².

Catherine dit : t1t₁ < T donc H = 1/2 g.(t1t₁)² < 1/2 gT² = 20 m = Ho ; elle ajoute finement : donc t2t₂ = H/c < Ho/c = 60 ms ; doncmesalors t1 > T-Ho/c ; puiset H > 1/2 g (T-Ho/c)² = 18,82 msoit (H1 := H1 )18.82m .

Emmy, matheuse, finit : soit y(x) = 1/2 g (T- x/c)² et y = x ; la suite récurrente Hn converge en "araignée" vers la solution d'autant plus vite que [y'(x)| est inférieure à 1. On a successivement 20, puis 18,82 , puis 18,88 m .

remarque-annexe sur les chiffres significatifs : la résistance de l'air rend ces calculs au centimètre près fictifs. Par ailleurs, on n'a pas poussé au-delà, ( et la margelle du millimètrepuits ? ), et car il y a ambiguïté sur les ChS : on aurait dû donner T = 2,0000 s par exemple ; passons, card'ailleurs on a pris g = 10.

Fanny, pragmatique, conclut : bon, dans ces conditions, je reprends juste le calcul de Catherine : H < 20 m , la première correction est -1,2 m ; DONC , SI c'est une progression géométrique alternée, de raison k = -6/100, alors H = 20/ (20/21,21+k) = 18,87 ; soit H = 18,9 m avec 3 ChS. D'ailleurs, numériquement, Béa a trouvé : H = 20 (1-3H/100)², soit sensiblement H = 20 ( 1-6/100 ), c'est ce que j'ai écritpareil.

Chaque élève a son bout de vérité. C'est souvent l'ensemble des réponses qui donne une compréhension harmonieuse. Un problème a rarement une solution exacte et la méthode initiée par Catherine est donc très appréciée ; elle conduit aussi, par itération, au résultat exact et une itération de cette sorte est très aisée à conduire avec les calculettes usuelles. En conclusion, on a besoin : 1/. de mettre en équations et, éventuellement, de sortir la physique hors des équations pour mettre tout sous forme d'un pb de math 2/. résoudre alors comme en math, avec toute les capacités des math, y compris l'analyse numérique 3/. exploiter la solution du point de vue physique.