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Une digression importante est la notion d''''information'''.
''A priori'', dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une
Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une '''introduction à la notion d'information''', cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.
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{{exemple|
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=== Description d'un Système à l'équilibre ===
*Un système thermodynamique est composé d'un grand nombre de particules ( typiquement pour une mole N ~ 6.10^23). L'espace des phases est donc de dimension 6N. Or, la connaissance de l'état d'équilibre MACROSCOPIQUE n'exige que la connaissance de v grandeurs macroscopiques ( Principe zéro de la thermostatique sur l'existence de la variance v ; pour un gaz pur , v= 2). Souvent le choix se porte sur le couple {volume V et énergie interne E}
*Cependant, on sait bien en mécanique quantique,qu'à un niveau d'énergie E correspond une multiplicité d'états g(E). Citons deux exemples classiques :
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===Mise en contact thermique ===
*Si on place en ''contact thermique'' deux systèmes S1 et S2 ( le tout isolé) , alors les états accessibles seront tous les états des niveaux E1 et E2 tels que E1+E2 = E et nous admettrons :
*'''Postulat d'équiprobabilité''' : tous ces
*Alors il en résulte que la proba pour que S1 possède l'énergie E1 ( donc S2 l'énergie E-E1)est :
p(E1) ~ <math>\Omega_1(E_1) \cdot \Omega_2(E-E_1)</math>.
soit une fonction
<math>\frac{\partial Ln\Omega_1}{\partial E_1} = \frac{\partial Ln\Omega_2}{\partial E_2}</math>
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Ce dernier terme n'intervient que si la "particule" révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc <math>\Omega</math>.
=== Conclusion :{{exemple|
==Interprétation du second principe==
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.
Reprenons l'exemple-type de
Le deuxième principe s'énonce maintenant :
{{exemple|
==Illustrations==
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* Voici plus fascinant: Pomérantchuk étudiant l'hélium III dégénéré a remarqué que cette fois la variation d'entropie est négative (-R Ln2)! donc il faut chauffer le liquide pour qu'il devienne solide ! Cela est compréhensible : à très basse température le liquide fermionique dégénéré occupe un seul état : <math>\Omega</math> = 1 . Pour le solide, les atomes localisés ont un spin quelconque ( sans champ magnétique), <math>\Omega</math>= 2^N ( cf pb ensParis 1980, Claire Lhuillier).
* ''Last but not least
===la boule B(n)===
Ligne 183 ⟶ 185 :
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4!
Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui
et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
Ligne 192 ⟶ 194 :
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :
Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois < E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est
=== les C(n,p)===
Ligne 203 ⟶ 205 :
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k < sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne.
Cet exercice est
réflexions issues du Combinatorial_issues.
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