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===les difficultés liées au calculus===
 
La présentation donnée, v=gt ; z=1/2 gt², est ''anachronique'', très loin de la formulation de 1604. S'il faut attendre 1640 pour trouver la formule de Torricelli, v²=2gz, c'est que ce n'est pas simple, pour l'époque. Il y a deuxau moins trois difficultés :
 
La notion d'unité, de dimension est précaire (les ''Discorsi'' sont écrits en 1638). Nos montres n'existent pas. La mesure du temps est rudimentaire : on fait chanter une chorale et on se base sur son tempo. Un peu plus tard, on utilisera le pendule ( sans même discuter la circularité du raisonnement, car le pendule utilise aussi la chute ). Galilée n'utilisera jamais "l'axe des temps". La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : t(k) échelonnés aussi régulièrement que possible versus position z(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des traits espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. On se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur. D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais la "différenciation" augmente l'erreur. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ouEt bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégiersûr, cela sontnotation desg dates échelonnées : alors, les différences dn'espaceexiste augmentent comme 1,3,5,7,...et ceci, quel que soit le choix de l'intervalle de temps. Or il sait que la somme des impairs est un carré. Ilpas en déduit z ~1604 t².!
 
La notion de fonction n'existe pas vraiment. On a simplement deux tableaux numériques : z(k) positions échelonnées aussi régulièrement que possible versus temps de passage t(k). Mais pourquoi ne pas utiliser des temps espacés régulièrement ? Comment intrapoler pour passer d'un tableau à l'autre ? etc. Et on se rend compte très vite que le point initial est grande source d'erreur, à cause du déclenchement du ""chronomètre"". D'où l'idée de procéder avec les différences_premières ; l'erreur systématique est moindre ; mais alors mesurer des différences augmente l'erreur expérimentale. Mais doit-on afficher les temps à des positions espacées régulièrement ? ou bien les positions à des dates échelonnées régulièrement ? Ce que Galilée va finalement privilégier, ce sont des dates échelonnées : alors, les différences d'espace augmentent comme 1,3,5,7,...(et ceci, ''quel que soit le choix de l'intervalle de temps''). Or il sait que la somme des impairs est un carré. Il en déduit z ~ t².
La deuxième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le "moment" examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v(k) = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? A-t-on dt/dz = 1/v(k) ?
 
La deuxièmetroisième difficulté est la notion de ''calculus'' ( le calcul différentiel et intégral ) : la notion de vitesse instantanée, à la date t, à un instant déterminé, dans le "moment" examiné, etc , n'existe pas encore.Il faudra attendre Newton, et surtout Leibniz pour écrire la dérivée v(k) = dz /dt, via la limite ultime des durées petites, ou des distances infimes ; et comment la déduire des t(k),z(k) ? AEt si on définit la lenteur comme limite de Δt/Δz, a-t-on dt/dzla =lenteur égale à 1/v(k) ?
Admettons que l'on forme un tableau des v(k) "au mieux" ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée "patouille". Cela en est touchant. Et au coup suivant, on considère dv/dt ou bien dv/dx , ou bien d(1/v)/dx ou d(1/v)/dt ? On affouille, bafouille, cafouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous n'avons même plus conscience de ces difficultés immenses.
 
Admettons que l'on forme un tableau desde v(k)ces v_i "au mieux" ; ce tableau formé, faut-il considérer les v(k) fonction des t(k) ou bien des z(k) ? Galilée "patouille"est hésitant. Cela en est touchant. EtMais l'affaire est importante, car au coup suivant, onpour considèrela dv/dt"différence oudes biendifférences", dv/dxil ,faudra aussi faire attention ; est-ce v(t) ou bien dlenteur(1/vz)/dx? ouauquel cas d(1lenteur(z))/vdz ne donne rien de bien simple! C'est bien dv(t)/dt ?qui est simple. On affouille, bafouille, cafouille. On patouille. Clairement, 50 après, on a progressé. Mais combien d'efforts de savants illustres ! Le terrain aplani, nous n'avons même plusperdons conscience de cescette difficulté immense : la construction difficultésdu immensescalculus.
 
== Exercices ==