« Théorème fondamental de l'algèbre » : différence entre les versions
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Ligne 34 :
Donc pour <math>0<r<1\,</math>, on a:</br>
<math>\mid Q(z)\mid - \mid b_0\mid \leq r(-\mid b_0\mid + \mid\sum_{l=k+1}^n b_lr^{\frac{l-k} k}z_1^{-l}\mid P(z_0)\mid^{\frac l k}e^{\frac{il\theta} k}\mid)</math></br>
Par conséquent, quand <math> r \to 0</math> tout en restant positif, le second membre devient strictement négatif car <math>\mid b_0\mid>0</math> par hypothèse. Donc <math>\mid Q(z)\mid < \mid b_0 \mid = m</math>. Ce qui est absurde d'après la définition de <math>m\,</math>. <math>z_0\,</math> est donc une racine de <math>P\,</math>.
Ligne 43 :
* [[w:Équation du second degré|Équation du second degré]]
* [[w:Théorème de Gauss|Théorème de Gauss]]
* Il existe une preuve presque purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre, valable dans tout [[w:corps réel clos|corps réel clos]] (elle utilise seulement le fait, découlant du théorème des valeurs intermédiaires, que tout polynôme à coefficients réels et de degré impair possède une racine réelle). Voir Alain Bouvier & Denis Richard,
== Bibliographie ==
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