« Approfondissements de lycée/Logique » : différence entre les versions

où et ''x'' et ''y'' représentent chacun un énoncé vrai ou faux (par exemple : il est en train de pleuvoir aujourd'hui). Il est vrai si et seulement si ''x'' et ''y'' tous les deux sont vrais, dans la table :

 

 

Nous utiliserons 1 à la place de V et 0 à la place de F à partir de maintenant.

 

 

Maintenant, nous devrions être capable de voir pourquoi nous disons que ET est analogue à la multiplication, nous remplacerons le ET par x, ainsi '''x ET y''' devient '''x x y''' (ou simplement ''xy''). A partir de la table de vérité, nous avons :

Pour l'opération OU. ''' ''x'' OU ''y'' ''' est FAUX si et seulement si ''x'' et ''y'' sont tous les deux faux. Dans la table :

 

 

L'opération OU est presque analogue à l'addition. Nous illustrerons ceci en remplaçant OU par + :

L'opération NON n'est pas une ''opération binaire'', à la différence de ET et OU. '''NON ''x'' ''' est vrai si ''x'' est faux et ''faux'' si ''x'' est vrai. Dans la table :

 

 

En notation symbolique, '''NON''' x est noté x' (ou par une barre sur le sommet du x).

Pour construire une table de vérité, d'abord nous écrivons toutes les combinaisons possibles des trois variables :

 

 

Ceci est un motif de manière d'écriture des combinaisons. Nous commençons toujours avec 000 et nous finissons avec 111.

 

Nous continuons de cette manière jusqu'à ce que la table entière soit remplie.

 

La procédure que nous suivons pour produire les tables de vérité est maintenant claire. Voici quelques exemples supplémentaires de tables de vérité.

==== Exemple 1 -- x + y + z ====

 

 

==== Exemple 2 -- (x + yz)' ====

 

Lorsqu'une expression est difficile à calculer, nous pouvons d'abord calculer les résultats intermédiaires, puis le résultat final.

 

==== Exemple 3 -- (x + yz')w ====

 

==== Exercices ====

 

'''xz + yz'''

 

'''(x + y)z'''

 

En comparant les deux tables, vous noterez que les sorties (i.e. la dernière colonne) des deux tables sont les mêmes !

Jusque là, nous n'avons seulement traité que les expressions de la forme ''somme de produits'' c.a.d. xyz + x'z + y'z'. Les théorèmes de De Morgan nous aident avec un autre type d'expressions booléennes. Nous revisitons les tables de vérité ET et OU :

 

 

Vous auriez raison de soupçonner que les deux opérations sont connectées d'une façon ou d'une autre en raison des ressemblances entre les deux tables. En fait, si vous inversez l'opération ET, i.e. vous exécutez l'opération NON sur x ET y. Les sorties des deux opérations sont presque les mêmes :

 

La connexion entre ET, OU et NON est révélée par la ''réciprocité'' de la sortie x + y en la remplaçant par x' + y'.

 

Maintenant, les deux sorties coïncident et ainsi, nous pouvons les égaliser :

:<math>x \Rightarrow y</math>

possède la table de vérité suivante :

 

<math>x \Rightarrow y</math> est FAUX si et seulement si ''x'' est vrai et ''y'' faux. Si ''x'' est FAUX, il n'y a pas de problème sur la valeur prise par ''y'', la proposition est automatiquement VRAIE. Les deux propostions ''x'' et ''y'' n'ont pas besoin d'avoir quelque chose à voir l'une avec l'autre, c.a.d. "1 + 1 = 2 implique L'Australie est dans l'hémisphère Sud" est évaluée comme VRAI !

:<math>x \Leftrightarrow y</math>.

C'est une implication à deux sens qui traduit ''x'' est VRAI si et seulement si ''y'' est vrai. Autrement dit, '''si''' correspond à l'implication <math>(x \Rightarrow y)\,</math>, '''seulement si''' à l'implication <math>(y \Rightarrow x)\,</math>. L'opération ''si et seulement si'' possède la table de vérité suivante :

 

Les deux nouvelles opérations que nous avons introduites ne sont pas réellement nouvelles, elles sont simplement des combinaisons de ET, OU et NON. Par exemple :