« Approfondissements de lycée/Matrices » : différence entre les versions
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Ligne 832 :
:d) <math>A^{-1} = \frac{1}{-16}\begin{pmatrix}3&-5\\-5&3\end{pmatrix}</math>
===
'''1.''' Trouver le déterminant de
:<math> A = \begin{pmatrix}\frac{2}{5}&\frac{2}{3}\\ \\ \frac{3}{2}& \frac{5}{2}\end{pmatrix}</math>. En utilisant le déterminant de A, décider s'il existe une unique solution pour le système d'équations suivant
Ligne 1 046 :
Généralement pour une matrice '''B''', si un vecteur <math>w \ne 0\,</math> (la matrice avec toutes les entrées égales à zéro) telles que
:<math> B\overrightarrow{ w } = \lambda \overrightarrow{ w }</math>
pour un certain scalaire <math>\lambda\,</math>, alors <math> \overrightarrow{ w } </math> est appelé un vecteur propre de '''B''' et <math>\lambda\,</math> la valeur propre de
Ceci est une particularité des matrices qui peut être exploitée pour calculer les puissances facilement. Ici, en utilisant '''''A''''', ''x'' et ''y'' comme précédemment, nous écrivons les deux parties de l'information ensemble sous forme matricielle :
Ligne 1 059 :
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 066 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 081 :
:<math>
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 094 :
=
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 101 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
Ligne 1 117 :
:<math>
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 124 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
Ligne 1 131 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 138 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
Ligne 1 152 :
=
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 159 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
Ligne 1 166 :
qui est très facile à calculer puisque les puissances d'une matrice diagonale sont faciles à calculer (simplement élever à la puissance chaque entrée).
==== Exemple 1 ====
Calculer <math>A^5\,</math> où '''''A''''' est donnée ci-dessus.
Ligne 1 175 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 182 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
Ligne 1 191 :
\begin{pmatrix}
2
-1 & 1
\end{pmatrix}
Ligne 1 198 :
\begin{pmatrix}
1
1 & 2
\end{pmatrix}
Ligne 1 207 :
\begin{pmatrix}
2^6-3^5
-2^5+3^5 & -2^5 + 2\times 3^5
\end{pmatrix}
</math>
==== Exemple 2 ====
Soit
:<math>B = \begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}
Ligne 1 221 :
et ses vecteurs propres sont
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
</math> et <math>\begin{pmatrix}
7\\
4
\end{pmatrix}
Ligne 1 235 :
Nous devons d'abord déterminer ses valeurs propres. Nous effectuons
:<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
Ligne 1 249 :
donc la valeur propre correspondante à
:<math>\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
Ligne 1 257 :
De manière similaire,
:<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
7\\
4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
21\\
12
\end{pmatrix} =
3\begin{pmatrix}
7\\
4
\end{pmatrix}
Ligne 1 277 :
Maintenant, nous les écrivons sous la forme :
:<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 7\\
1 & 4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 7\\
1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix}
Ligne 1 295 :
maintenant, revenons à '''''B'''''
:<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 7\\
1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & -7\\
-1 & 2
\end{pmatrix}
Ligne 1 315 :
Maintenant
:<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}^5
=
\begin{pmatrix}
2 & 7\\
1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1^5 & 0\\
0 & 3^5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & -7\\
-1 & 2
\end{pmatrix}
Ligne 1 334 :
:en multipliant le coté droit, nous obtenons
<math>\begin{pmatrix}
-13
-8 & 17
\end{pmatrix}^5
=
\begin{pmatrix}
8-7\times 3^5 & 14(3^5-1)\\
4(3^5-1) & -7+8\times 3^5
\end{pmatrix}
Ligne 1 470 :
:<math>\lambda = 1, 2\,</math>
Maintenant, pour chaque valeur propre, nous obtiendrons un vecteur propre correspondant différent. Donc, nous considérons le cas <math>\lambda = 1\,</math> et
Considérons d'abord <math>\lambda = 1\,</math>, à partir de (**) nous obtenons
Ligne 1 647 :
</math>
<br /></br>
:<math>
\begin{matrix}
(1-\lambda)(4-\lambda) + 2 &=& 0\\
\lambda^2-5\lambda + 6
\end{matrix}
</math>
<br /></br>
:<math>\lambda = 3,\ 2</math>
Ligne 2 061 :
=\begin{pmatrix}
28&94&70&102\\
44&153&112&163\end{pmatrix}
</math>.
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