« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

Mais il existe plusieurs ''types'' différents d'infinis - en fait, il existe une infinité de types d'infini ! Ce chapitre essaiera d'expliquer ce que ces sortes d'infinis représentent ainsi que leurs différences entre eux.

 

 

 

L'infini est différent d'un nombre normal parceque, par définition, il n'est pas '''fini'''. En divisant l'infini par n'importe quel nombre positif (excepté l'infini), nous obtiendrons l'infini. Vous pouvez aussi le multiplier par n'importe quoi excepté zéro (ou l'infini) et il ne sera pas plus grand. Donc, regardons de plus près les différentes sortes d'infinis.

Nous pouvons utiliser la même idée pour comparer les ensembles infinis. Si nous pouvons trouver une manière d'apparier un élément d'un ensemble A avec un élément d'un ensemble B, et s'il n'existe pas d'élément de A sans partenaire de B et vice versa, alors nous pouvons dire que les ensembles A et B ont le même nombre d'éléments.

 

Soit <math>\mathbb{N}\,</math> l'ensemble des nombres courants. <math>\mathbb{N}\,</math> est appelé l'ensemble des nombres naturels. 1,2,3,4,5,6, ... "jusqu'à" l'infini.

Soit B, l'ensemble des nombres négatifs -1,-2,-3, ... ainsi de suite "jusqu'à" - l'infini.

et ainsi de suite. Vraiment étrange ! Un sous-ensemble de <math>\mathbb{Z}\,</math> (nommément les nombres naturels) possède le même nombre d'éléments que <math>\mathbb{Z}\,</math> lui-même ? Les ensembles infinis ne sont pas comme les ensembles ordinaires. En fait, ceci est quelquefois utilisé comme une définition d'un ensemble infini. '''Un ensemble infini est tout ensemble qui peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles'''. Plutôt que de dire "Le nombre d'éléments" d'un ensemble, on emploie quelquefois le mot '''cardinal''' ou '''valeur cardinale'''. <math>\mathbb{Z}\,</math> et <math>\mathbb{N}\,</math> sont dits avoir le même cardinal.

 

#La quantité de nombres pairs est-elle la même que celle des nombres naturels ?

#Quel est la quantité des nombres carrés ?

#En utilisant l'idée de bijection, démontrer que <math>\infty + 1 = \infty</math>, qu'en est-t'il de <math>\infty + A</math> où A est un ensemble ''fini'' ? qu'en est-t'il d'<math>\infty + C</math> où C est un ensemble infini dénombrable ?

 

Dans ce chapitre, nous regarderons si nous pouvons trouver un ensemble qui est '''plus grand''' que l'infini dénombrable que nous venons d'examiner. Pour illustrer cette idée, nous pouvons imaginer une histoire.

 

Noter que cette table n'est pas une représentation exacte de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Elle possède seulement les éléments positifs de <math>\mathbb{Q}\,</math> et un nombres d'entrées multiples.(c.a.d. 1/1 et 2/2 sont le même nombre). Nous appelerons cet ensemble <math>\mathbb{Q'}\,</math>. Il est suffisamment simple de voir que si <math>\mathbb{Q'}\,</math> est dénombrable, alors <math>\mathbb{Q}\,</math> l'est aussi.

 

 

# Adapter la méthode de dénombrement de <math>\mathbb{Q'}\,</math> pour montrer que <math>\mathbb{Q}\,</math> est aussi dénombrable. Comment incluerez-vous 0 et les rationnels négatifs ? Comment résoudrez-vous le problème des entrées multiples qui représentent le même nombre ?

# Montrer que <math> \infty \times \infty = \infty </math> (issu du fait que les infinis sont tous les deux dénombrables)

 

 

Jusque là, nous avons examiné <math>\mathbb{N}\,</math>, <math>\mathbb{Z}\,</math>, et <math>\mathbb{Q}\,</math> et nous avons trouvé qu'ils avaient tous la même taille, bien que <math>\mathbb{N}\,</math> est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Z}\,</math> qui est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Q}\,</math>. Vous commencez à vous dire "C'est ainsi ? Tous les infinis sont de même taille ?" Dans ce chapitre, nous verrons qu'un ensemble est ''plus grand'' que <math>\mathbb{N}\,</math>. Un ensemble qui ''ne peut pas'' être mis en bijection avec <math>\mathbb{N}\,</math>, quelle que soit la manière dont il est disposé.

Maintenant, imaginez que vous mesuriez un livre et que vous trouvez 10,101010101010 cm. Vous seriez surpris, non ? Mais, ceci est exactement la sorte de résultat que vous auriez si la longueur du livre était rationnelle. Les nombres rationnels sont denses (vous les trouvez sur tout un segment), infinis, mais encore beaucoup, beaucoup plus rares que les nombres réels.

 

C'est bien d'avoir de ressentir les différences de tailles des infinis de la section précédente. Mais pour être réellement sûrs, nous devons avoir une démonstration. Pour démontrer que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>, nous utilisons une méthode classique. Nous supposons que <math>\mathbb{R}\,</math> est de même taille que <math>\mathbb{Q}\,</math> et nous arrivons à une contradiction. Pour l'exigence de la clarté, nous restreindrons notre démonstration aux nombres réels entre 0 et 1. Nous appellerons cet ensemble <math>\mathbb{R'}\,</math>. De façon claire, si nous pouvons démontrer que <math>\mathbb{R'}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> alors <math>\mathbb{R}\,</math> doit être plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> également.

 

Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math>". Ceci veut dire que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>.

 

 

Ils existent mais ils sont difficiles à décrire. L'ensemble de toutes les combinaisons possibles de n'importe quel nombre de nombres réels est un infini "plus grand" que <math>\mathbb{R}\,</math>. Néanmoins, imaginer un tel ensemble embrouille l'esprit. Regardons à la place un ensemble qui semblerait plus grand que <math>\mathbb{R}\,</math> mais qui ne l'est pas.

Ceci définit une bijection entre les points du carré et les points du segment.

 

#Démontrer que le nombre de points dans un cube est le même que le nombre de points sur l'un de ses cotés.

 

 

Nous finirons le chapitre sur les ensembles infinis en jetant un coup d'oeil à l''''hypothèse du continu'''. Cette hypothèse établit qu'il n'existe pas d'infini entre les nombres naturels et les nombres réels. Cantor inventa un système de nombres pour les nombres transfinis. Il appela le plus petit infini <math>\aleph_0</math>, puis le plus grand suivant <math>\aleph_1</math> et ainsi de suite. Il est facile de démontrer que le cardinal de <math>\mathbb{N}\,</math> is <math>\aleph_0</math> mais est-ce que le cardinal des réels est <math>\aleph_1</math>?

L'hypothèse est intéressante parcequ'il a été démontré que "Il n'est pas possible de démontrer que l'hypothèse est vraie ou fausse, en utilisant les axiomes normaux de la théorie des ensembles".

 

Si vous voulez en apprendre plus sur la théorie des ensembles ou sur les ensembles infinis, lisez une des pages intéressantes de Wikipédia.

*[http://en2.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number ordinal numbers]

*[http://en2.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel Hilbert's Hotel]

 

La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.

 

:la limite de 1/''n'' lorsque ''n'' tend vers l'infini est zéro.

 

 

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">

Lorsque nous parlons d'infini, nous y pensons comme quelque chose d'énorme. Mais il existe aussi l'infiniment petit, représenté par <math>\varepsilon\,</math> (epsilon). Cet animal est plus proche de zéro que tout autre nombre. Les mathématiciens utilisent aussi le caractère <math>\varepsilon\,</math> pour représenter n'importe quoi de petit. Par exemple, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős utilisait ce mot pour faire référence aux enfants.

</blockquote>

 

Regardons la fonction

:<math> \frac{x^2 + x}{x^2} </math>

:<math>\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}(\sin x) = 0 </math>

 

 

 

#<math>\lim_{x \to \infty}(2x^2 -x^4) </math>

 

Considérons la somme infinie :

:<math>\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots\,</math>

[[Image:Représentation_série_géométrique.png]]

 

Les Grecs anciens avaient un gros problème avec la sommation des séries infinies. Un paradoxe célèbre dû au philosophe Zenon est le suivant :