« Approfondissements de lycée/Fractions partielles » : différence entre les versions
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Ligne 1 :
<[[Approfondissements de lycée]]
== Méthode des fractions partielles ==
=== Introduction ===
Avant de commencer, considérons ce qui suit :
<math>\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}......+\frac{1}{99\times100}</math>
Ligne 18 :
En fait, vous avez effectué des fractions partielles ! Les fractions partielles est une méthode pour réduire les fractions compliquées qui impliquent des produits en sommes de fractions plus simples.
=== Méthode ===
Comment faisons-nous des fractions partielles ? Regardons l'exemple ci-dessous :<br />
<math>\frac{4z-5}{z^2-3z+2}</math>
Factorisons le dénominateur.<br />
<math>\frac{4z-5}{(z-1)(z-2)}</math>
Puis, nous supposons que nous '''pouvons''' le scinder en fractions comportant au dénominateur (z-1) et (z-2) respectivement. Notons leurs numérateurs a et b.<br />
<math>\frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-2}</math>
Ligne 49 :
Substituons a=1 en (1):b=3
Par conséquent<br />
<math>\frac{4z-5}{z^2-3z+2}=\frac{1}{z-1}+\frac{3}{z-2}</math>
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== Plus sur les fractions partielles ==
=== Facteurs répétés ===
Lors de la dernière sections, nous avons parlé de la factorisation du dénominateur, et obtenu chaque facteur comme dénominateur de chaque terme. Mais que se passe-t'il lorqu'il y a une répétition de facteurs ? Pouvons-nous appliquer la même méthode ? Regardons l'exemple ci-dessous :
Ligne 75 :
A partir de l'échec de l'exemple précédent, nous voyons que l'ancienne méthode des fractions partielles ne marche pas. Vous pouvez vous demander si nous pouvons actuellement les scinder ? Oui, mais avant d'attaquer ce problème, regardons d'un peu plus près les dénominateurs.
Considérons l'exemple suivant :<br />
<math>\frac{1}{2^{3}7^2} + \frac{1}{2^{5}7}\,</math>
<math>=\frac{2^2}{2^{5}7^2} + \frac{7}{2^{5}7^2}\,</math>
<math>=\frac{2^2 + 7}{2^{5}7^2}\,</math><br />
Nous pouvons voir que la puissance du facteur premier dans le produit du dénominateur est la puissance maximale de ce facteur premier dans tous les termes du dénominateur.
De manière similaire, soient les facteurs <math>P_1,P_2,...,P_n</math>, alors, nous avons le cas général :<br />
<math>\frac{A}{P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2}...P_n^{\alpha_n}} +
\frac{B}{P_1^{\beta_1}P_2^{\beta_2}...P_n^{\beta_n}} + ...
\frac{Z}{P_1^{\zeta_1}P_2^{\zeta_2}...P_n^{\zeta_n}}</math><br />
Si nous les convertissons en une grande fraction, le dénominateur sera :<br />
<math>P_1^{max(\alpha_1,\beta_1,...,\zeta_1)}
P_2^{max(\alpha_2,\beta_2,...,\zeta_2)}...
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=== Méthode différente pour les facteurs répétés ===
A la différence de la méthode suggérée ci-dessus, nous pourrions utiliser une autre approche du problème. Nous pouvons d'abord exclure certains facteurs pour qu'il soit de la forme non répétée, puis effectuer les fractions partielles, et multiplier le facteur en retour, puis appliquer les fractions partielles sur les 2 fractions.
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