« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

:::''"C'est par la logique que nous démontrons, mais par l'intuition que nous découvrons."''

 

Les mathématiciens ont été, durant des siècles, obsédés par les démonstrations. Ils veulent tout prouver, et par ce processus, ils ont démontré qu'ils ne pouvaient pas tout démontrer (voir [[w:Théorème d'incomplétude|ceci]]). Ce chapitre introduira les techniques de l'induction mathématique, la démontration par l'absurde et l'approche axiomatique des mathématiques.

 

Le raisonnement déductif est le processus de recherche de conclusion qu'il est garanti d'obtenir. Par exemple, si nous savons que

* Tous les corbeaux sont des oiseaux noirs, et

 

'''Exemple 2'''

 

'''Solution'''

\begin{matrix}

1^3 + 2^3 + ...+ k^3 + (k+1)^3 & = &\frac {(k+1)^2k^2}{4} + (k+1)^3\\

\end{matrix}

</math>

1. Démontrer que <math>1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{ n(2n^2 + 3n +1)}{6} </math>

 

:<math> (1 + \sqrt{5})^n = x_n + y_n\sqrt{5}</math>

où x_n et y_n sont des entiers.

4. La somme de tous les angles d'un triangle est <math>180^\circ</math>; La somme de tous les angles d'un rectangle est <math>360^\circ</math>. Démontrer que la somme de tous les angles d'un polygone à ''n'' cotés, est <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.

 

:''"Lorsque vous avez éliminé l'impossible, ce qu'il reste, même improbable doit être vrai." Sir Arthur Conan Doyle''

 

# Finalement, nous concluons que la supposition devait être fausse.

 

Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de 0 (voir la section 'catégories de nombres' [[AL Nombres complexes|ici]]).

 

:<math>

\sqrt{2} = \frac{a}{b}

où ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (i.e. les deux entiers n'on pas de facteurs en commun). Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, nous enlevons tous les facteurs communs. En d'autres mots, ''a/b'' est sous la forme irréductible. Maintenant, continuons :

:<math>

Nous avons découvert que ''b²'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme ''a/b'', c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationel.

 

Nous avons déjà présenté une démonstration de l'infinité des nombres premiers dans le chapitre [[AL Premiers|Nombres premiers]]. En voici une autre.

 

 

=== Exercices ===

 

2. Démontrer en utilisant seulement les axiomes si u + v = u + w alors v = w (soustraire u à partir des deux cotés n'est pas accepté comme solution)

:<math> {n \choose 0} + {n\choose 1} + {n\choose 2} + ... + {n\choose n} = 2^n</math>

où

 

4. Démontrer par induction <math> {n \choose 0} + 2{n\choose 1} + 2^2{n\choose 2} + ... + 2^n{n\choose n} = 3^n</math>