« Approfondissements de lycée/Arithmétique modulaire » : différence entre les versions
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Ligne 121 :
Il est aussi intéressant de noter que la division ne marche pas toujours. Considérons :
:<math>\frac{14}{7} \ \ \mbox{(mod 28)}</math>
Par la méthode des divisions, la réponse est 2. Mais 7 n'a pas d'inverse mod 28. Donc, nous ne pouvons pas dire 14/7 = 2. C'est un problème majeur avec la division en arithmétique mod ''n'', elle marche dans certains cas mais échoue complètement dans d'autres. Il est plus sûr de ne pas tenir compte de la division.
:<math>14 \cdot 7^{-1} \ \ \mbox{(mod 28)}</math>
qui n'a pas de solution puisque 7<sup>-1</sup> n'existe pas.
Ligne 132 :
b = b \times 1 = b (ac) = (ba)c = 1 \times c = c
</math>
</blockquote>
Ligne 304 :
Maintenant, considérons<br/>
:<math>216x \equiv 1 \ \ \mod {811}</math>
Une nouvelle notation est introduite ici, c'est le signe égal avec trois traits au lieu de deux. C'est le signe "congru à"; le résultat ci-dessus devrait être lu "216''x'' est CONGRU à 1" à la place de "216''x'' est EGAL à 1".
Pour revenir à l'exemple, nous savons que ''x'' existe, comme PGDC(811,216) = 1. Le problème avec la question ci-dessus est qu'il n'existe pas de manière rapide de décider la valeur de ''x'' ! La meilleure méthode que nous connaissons est de multiplier 216 par 1, 2, 3, 4... jusqu'à ce que nous obtenions la réponse, il existe au plus 816 calculs, manière trop fastidieuse pour les humains. Mais il existe une meilleure manière, et nous l'avons approchée quelques fois !
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