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[[Fichier:Lentille hemispherique analyse geometrique.svg|vignette|Analyse géométrique du problème.]]
 
Il s'agit d'un problème ayant une symétrie de révolution par rapport à l'axe optique. Nous pouvons nous réduire à un problème plan en nous plaçant dans un plan contenant l'axe optique ; l'axe optique est encore un axe de symétrie orthogonale, nous pouvons donc nous contenter d'étudier un demi-plan.
 
Pour simplifier, nous plaçons le centre du dioptre sphérique à l'origine O du repère. L'axe optique est l'axe ''x'' et l'axe perpendiculaire, vertical sur la figure, 'est l'axe ''y''.
 
Les coordonnées de la source sont donc (-''d'' ; 0). Le rayon issu de la source et faisant un angle θ avec l'axe ''x'' frappe le dioptre plan à l'altitude ''h''. Nous avons :
: ''h'' = ''d'' ⋅ tan θ.
L'angle d'incidence vaut θ. D'après la loi de Snell-Descartes, l'angle de réfraction θ<sub>2</sub> vaut :
: θ<sub>2</sub> = (1/''n'') ⋅ θ.
Le rayon réfracté passe par le points de coordonnées (0, ''h''). L'équation de la droite est donc :
: ''y'' = a ⋅ ''x'' + ''h''
avec
: ''a'' = tan θ<sub>2</sub>.
L'équation du cercle de centre O et de rayon R est :
: ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = R<sup>2</sup>.
Les coordonnées (''x''<sub>M</sub>, ''y''<sub>M</sub>) de l'intersection M du rayon avec le dioptre sphérique vérifient les deux équations. Par substitution, nous obtenons une équation du second degré en ''x'' que nous savons résoudre :
: ''x''<sub>M</sub><sup>2</sup> + (''a'' ⋅ ''x''<sub>M</sub> + ''h'')<sup>2</sup> = R<sup>2</sup>
: ⇔ (1 + ''a''<sup>2</sup>) ⋅ ''x''<sub>M</sub><sup>2</sup> + 2 ⋅ ''a'' ⋅ ''h'' ⋅ ''x''<sub>M</sub> + ''h''<sup>2</sup> – R<sup>2</sup> = 0.
D'après les propriétés du cercle, le rayon est perpendiculaire à la tangente. Le rayon [OM] est donc normal au dioptre en M. Nous pouvons déterminer l'angle d'incidence θ<sub>i</sub> par le produit scalaire :
: <math>\begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_\mathrm{M} \\ y_\mathrm{M} \end{pmatrix} = \sqrt{1^2 + a^2} \cdot \mathrm{R} \cdot \cos(\theta_\mathrm{i})</math>
ce qui nous permet de calculer cet angle :
: <math>\theta_\mathrm{i} = \operatorname{arcos} \left ( \frac{x_\mathrm{M} + a \cdot y_\mathrm{M}}{\mathrm{R} \cdot \sqrt{1^2 + a^2} } \right )</math>
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