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« Approfondissements de lycée/Fractions partielles » : différence entre les versions

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Ligne 5 :
<math>\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}......+\frac{1}{99\times100}</math>
 
Comment pouvons-nous calculer cette somme ? Au premier coup d'oeild’œil, cela semble difficile, mais si vous y réfléchissez, vous trouverez :
<math>\frac{1}{4\times5}=\frac{5-4}{4\times5}=\frac{5}{4\times5}-\frac{4}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}</math>
 
Ligne 19 :
 
=== Méthode ===
Comment faisons-nous des fractions partielles ? Regardons l'exemple ci-dessous :<br />
 
<math>\frac{4z-5}{z^2-3z+2}</math>
 
Factorisons le dénominateur.<br />
 
<math>\frac{4z-5}{(z-1)(z-2)}</math>
 
Puis, nous supposons que nous '''pouvons''' le scinder en fractions comportant au dénominateur (z-1) et (z-2) respectivement. Notons leurs numérateurs a et b.<br />
 
<math>\frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-2}</math>
 
Ligne 57 ⟶ 60 :
== Plus sur les fractions partielles ==
=== Facteurs répétés ===
Lors de la dernière sections, nous avons parlé de la factorisation du dénominateur, et obtenu chaque facteur comme dénominateur de chaque terme. Mais que se passe-t'il lorqu'illorsqu’il y a une répétition de facteurs ? Pouvons-nous appliquer la même méthode ? Regardons l'exemple ci-dessous :
 
<math>\frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}</math>
Ligne 71 ⟶ 74 :
<math>\equiv \frac{(A+B+C)x+(2C-A-B)}{(x+2)(x-1)}</math>
 
Un facteur est manquant ! Pouvons-nous multiplier et le dénominateur et le numérateur par ce facteur ? Non ! ParcequeParce que le numérateur est de degré 1, en multipliant avec un facteur linéaire le rendra de degré 2 ! (Vous pouvez penser : ne pouvons-nous pas établir A+B+C=0 ? Oui, mais en substituant A+B=-C, vous trouverez que ceci est impossible).
 
AÀ partir de l'échec de l'exemple précédent, nous voyons que l'ancienne méthode des fractions partielles ne marche pas. Vous pouvez vous demander si nous pouvons actuellement les scinder ? Oui, mais avant d'attaquer ce problème, regardons d'un peu plus près les dénominateurs.
 
Considérons l'exemple suivant :<br />
Ligne 145 ⟶ 148 :
 
=== Méthode différente pour les facteurs répétés ===
AÀ la différence de la méthode suggérée ci-dessus, nous pourrions utiliser une autre approche du problème. Nous pouvons d'abord exclure certains facteurs pour qu'il soit de la forme non répétée, puis effectuer les fractions partielles, et multiplier le facteur en retour, puis appliquer les fractions partielles sur les 2 fractions.
 
<math>\frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}</math>
Ligne 196 ⟶ 199 :
<math>0x + 1 \equiv (A+B)x + (2B-A)</math>
 
En coïndidantcoïncidant les coefficients des puissances de x, nous avons :
 
<math>
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