Wikilivres

« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687 » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
Aucun résumé des modifications
Ligne 8 :
*La géométrie de Descartes s'est répandue :
les mathématiques ont fait d'immenses progrès via la géométrie analytique; des traités d'analyse ont déjà vu le jour : certes, peu de gens savent manipuler le calculus, mais Leibniz a effectué(1674-1684), gràcegrâce aux éléments fournis par Newton et connus (via Collins et Oldenburg) à Paris, un superbe travail de notation qui éclaire ces notions.
1634-1684 : quelle magnifique période !
Ligne 21 :
*le Principe des travaux virtuels en statique n'est pas encore énoncé, mais les travaux de Pascal sur la presse hydraulique vers 1650, et les dizaines de machines simples en fonctionnement montrent que , (Stevin(1548-1620) :'''frottement oublié, elles transfèrent du travail'''.On voit donc que Galilée n'est pas le seul (ni le premier) à dire :que se passe-t-il à la limite du frottement nul?
 
*le Principe du Raisonnement d'Echelled’Échelle (ie d'analyse dimensionnelle) est acquis : le temps en seconde est différent de la distance en mètre. On sait mieux la notion d'unités (et donc la phoronomie, comme on dit à l'époque). Huygens s'en sert très bien dans sa théorie de la force centrifuge (il vaut mieux dire axifuge).
 
*'''La Méthode scientifique est acquise''' : la mécanique s'écrit en langage mathématique (Galilée et Descartes) ; on propose une gedanken-experiment pour approfondir ou tester la théorie. Si sa réalisation pratique ("au mieux") infirme la théorie, il vaut mieux changer la théorie, EN CONSERVANT "au mieux" les résultats antérieurs. Une théorie n'est jamais acquise définitivement, mais si elle se constitue via un faible nombre de principes de base qui constituent un moyen déductif d'interpréter TOUTES les expériences réalisées, alors ce critère d'auto-cohérence rend crédible, pour l'heure, la théorie. Si de plus , elle permet de prévoir certains faits à l'avance, c'est le succès (prévoir le retour de la comète de Halley est un des premiers grands succès de la mécanique de Newton), provisoire comme toujours.
Ligne 30 :
 
== Application à la force centrifuge ==
Le "de Vi centrifuga" (1659) de Huygens est magnifiquement décrit par Yoder (1988).
 
Les travaux de Huygens(1629-1695)sont parmi les plus importants dans ceux qui précédèrent 1684.
Ligne 38 :
*Soit s l'abscisse parcourue. Il a fallu ramener sur le cercle la particule d'une hauteur h = s²/2R cela par la tension qui a donc créé une accélération a = 2h/t² = 2(s²/2R)/t² = (s/t)²/R = v²/R.
 
Il existe bien d'autres démonstrations ; BernouilliBernoulli railla, quelques décennies plus tard, Huygens qui ne savait pas dériver :
 
'''OM'''(t) = '''i''' cos wt + '''j''' sin wt ;
Ligne 47 :
 
De fait, Huygens fût maladroit en calculus. Un peu comme Pascal, il était parmi les derniers à raisonner en termes géométriques seulement. Newton le surpassait car il savait faire les deux.
D'autre part, nous avons triché un peu : Huygens n'a pas trouvé la tension de la corde CENTRIPETECENTRIPÈTE : il a trouvé la force qui arrachait les bras de qui tournait la corde et qui est l'opposée : la force centrifuge. Son raisonnement s'est beaucoup appuyé aussi sur le pendule conique, que nous n'avons pas encore traité.
 
*Remarque : on notera qu'il vaut mieux dire force "axifuge". Cela sera revu ultérieurement.
Ligne 67 :
Soit à étudier le cas du pendule composé d'une barre OB , de centre de gravité OG = OB/2 = a.
 
EleverÉlever G sur le cercle de centre O , de la hauteur H . Quand G passe à la verticale avec la vitesse V = aw, la particule située à la distance r aura la vitesse (r/a)V et la somme des "énergies cinétiques" sera : 1/2 (somme miri²)w², ce qui permettra à G de remonter à la hauteur H. Plus généralement, à tout instant, on devra avoir , en appelant J = somme(miri²) l'inertie à la rotation :
1/2 J w² +M g h = cste. Cette équation différentielle est de nos jours interprétée comme la Conservation de l'énergie mécanique, s'il n'y a pas de frottement. Huygens l'avait déjà reconnue être l'équation des oscillations du mouvement pendulaire d'un pendule simple de période de petite oscillation T = 2Pi sqrt(J/Mga); donc la longueur du pendule simple équivalent est l = J/Ma.
 
Ligne 80 :
Par l'intermédiaire d'une masselotte coulissante, Huygens pouvait régler avec précision et à volonté l'inertie à la rotation J(O) du pendule, donc la période : une fois mis au point l'échappement à ancre, l'horloge à balancier était née ! 300 ans durant, elle offrira ses services à la science, avant d'être supplantée par l'horloge atomique.
 
* [Note de métrologie : Un pendule construit de manière que deux couteaux parallèles de distance L donne suspendu à chacun de ses couteaux la même période a pour période T = 2Pi sqrt(L/g). On s'arrange techniquement pour que cette période soit minimale : le pendule s'appelle alors pendule de Kater : jusqu'à l'invention de gravimètres à chute libre , le pendule de Kater donnait g à 10^-4 , voire 10^-5 près. Huygens avait donc permis d'accomplir le voeuvœu de Mersenne : mesurer g (bien que cette rédaction soit anachronique)].
 
== Principe fondamental de la rotation ==
Ligne 92 :
Soit, en dérivant (ce qui est encore anachronique pour Huygens, peu familier avec le calculus!) :
 
{{exemple|EnoncéÉnoncé|PFDR (Newton 1687)|<math> J\frac {d^2\theta}{dt^2} = C(\theta); et [CI :(\theta(t=0);\dot{\theta}(t=0)] </math>}}
 
Oui, nous préférons marquer PFDR de Newton (1687): les travaux sont amplement avancés sur ce sujet, puisque le pendule spiral des montres est déjà en fonction. Mais nos connaissances historiques sur le théorème du moment cinétique (puisque c'est bien de cela qu'il s'agit) sont floues.
Ligne 132 :
=== ex"Poids" du pendule : ===
 
Mersenne savait qu'un pendule simple lachélâché depuis l'horizontale avait une tension de ficelle égale à 3 mg au passage de la verticale (ce qui exigeait des fils sans élasticité!). Il n'en savait pas la raison ; mais Huygens donna la réponse.
Si maintenant on lâche un pendule pesant avec une élongation de 90° , quelle sera la réaction au point de suspension A?
De manière plus étonnante : décomposer cette réaction en deux vecteurs, l'un porté par la verticale et l'autre par AG : montrer que la composante verticale est constante ! Réfléchir et conclure.
Ligne 149 :
Si maintenant, on étudie la moyenne temporelle de R(t) via une jauge de contrainte (de temps de réponse très rapide), on trouvera bien sûr (m1+m2).g
 
*Remarque : ce remplacement d'un système par un autre qui donne les MEMESMÊMES EQUATIONSÉQUATIONS DIFFERENTIELLESDIFFÉRENTIELLES va être un mode de production d'explications simples, qui s'appelle l'isomorphisme : vulgairement, "on se ramène au cas précédent".
 
=== exercice-Pendule conique ===
Ligne 155 :
Une pièce en T se balance librement selon la barre horizontale BOB' du T, la partie OA jouant le rôle de pendule de masse m de longueur OA = 2a = 2OG
 
1/. Calculer la période des petites oscillations, c'est à dire la longueur du pendule simple synchrone.
 
2/. BOB' est mis en rotation constante (w) autour de l'axe vertical Oz. A partir d'une certaine valeur de w, le pendule "décroche de la position horizontale" et se stabilise en prenant une position inclinée, décrivant ainsi un cône de demi-angle au sommet alpha . TouverTrouver alpha(w).
 
*'''Solution :'''
 
1/. La période des petites oscillations est liée à J/mg(a). Comme J(G) = ma²/3 (démonstration en annexe, mais il vaut mieux le retenir par coeurcœur), l = a + (a²/3)/(a) = 2/3 . 2a , cqfd
 
2/. Si la barre est en équilibre , c'est que le mouvement de G est un mouvement circulaire de rayon a sin(alpha), sous l'action de deux forces : la tension de la barre et le poids mg : d'où tan(alpha)= mw².(a sin(alpha))/mg ; soit cos(alpha) = g/w²a si w² est plus grand que g/a .
Ligne 168 :
L'action sur le solide est le poids et l'action en O sur la barre QUI n'EST PAS EN DIRECTION de OG.
 
L'ensemble des actions axifuges dans le reférentielréférentiel tournant est un ensemble de forces parallèles croissant linéairement le long de la barre : elle se réduisent donc à une force unique passant au 2/3 de la barre et valant mw²(a).sin(alpha)). le PFDR autour de BOB' donne donc J.0 = 0 = -mga sin(alpha) + lcos(alpha).mw²(a)sin(alpha) :
 
soit cos(alpha) = g/w²l
Récupérée de « https://fr.wikibooks.org/wiki/Mécanique,_enseignée_via_l%27Histoire_des_Sciences/Les_Principes_avant_1687 »