« Électrocinétique » : différence entre les versions

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m (→‎Le treillis de 4 triangles : complément d'exercice)
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# Loi des mailles.
 
* L'équivalence dite de TheveninThévenin ou de Norton d'un dipôle linéaire.
* L'étude des potentiels et des intensités dans chaque partie du réseau électrique.
* La manipulation des fils électriques.
 
=Quelques exercices de calculs de résistances=
Ces exercices sont tous tirés d'examens ou concours posés en Bac +1. Ils n'ont aucune prétention d'originalité ; mais ils peuvent servir un élève auto-didacteautodidacte.
 
==Jeu des résistances du CNDP ==
Il y a donc un doublet de valeur 5 ; une triplette de valeur 10 ; un doublet de valeur 20. Et les 30 autres valeurs singulets.
 
On conçoit qu'avec 6 résistances, l'exercice devient plus délicat ( ne pas oublier la configuration tétraèdriquetétraédrique ! ).
 
==le rectangle et sa diagonale==
U = V(B)-V(D) = 2a i + c (i-j) = b j + a i . On résout en i et j en fonction de U ; puis I = i + j donne U/R d'où R.
 
Une solution plus rapide (mais plus élaborée) est de trouver par la loi des noeudsnœuds-Millman que :
<math>V_C = V_B \cdot \frac{\alpha -\beta}{ 2 \gamma+\alpha + \beta} </math>
puis écrire que <math> I = V_B(\alpha+\beta) -V_C (\alpha-\beta) \, \stackrel{\text{apres calcul}}{=} \, 2V_B \frac {(\alpha + \beta)\gamma +2 \alpha \beta}{2 \gamma+\alpha + \beta}</math>, ce qui donne G = 1/R.[On réfléchira à la superbe ''dualité'' du problème et donc du résultat ! ]
 
 
On remarquera que tout noeudnœud donne la loi des noeudsnœuds-Millman ( au fond, la loi du Laplacien-discret, qui est nul ici ).
 
On remarquera que tout cut-set sur la carte des courants redonne bien : courant sortant identiquement nul.
Voici une correction ( parmi d'autres... ) : prendre les trois inconnues V(A3) = x et V(C2) = y et V(B3) = z ; on aura alors V(A1) = x+y ! Et il reste à trouver x+y !
 
On propose d'écrire les 3 équations de noeudsnœuds-Millman '''en C3''' : y + z = 3*37 = 111 ; '''en B4''' : 2x + 4z = 320 ; '''en B3''' ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 .
 
Ce qui donne en éliminant x, puis y : -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 ,
 
solution : noter l'antisymétrie, puis :
loi des noeuds_Millmannœuds_Millman en D donne : Vd*3 = Va*1 + Vb*1 +Ve*1 or Ve=-Vb donc Vd= Va/3.
On démontre de même que Vb = Va/5 D'où I = Va ( 1-1/3) + Va(1-1/5) = 2Va ( 11/15), cqfd.
 
==Problème du "pont de Wheatstone"==
6 résistances forment un tétraèdre ABCD ; on place un générateur E dans la branche AB , on demande le courant dans la branche CD : la réponse est très simple à retenir, du fait de la symétrie tétraédrique :
<math>i = E \cdot \frac{R1R4-R2R3}{S_{16}}</math>, où S16 == somme des 16 triplets des six résistances que forment les 20 triplets '''sauf''' les 4 triplets_cutsets de chacun des 4 sommets_noeudssommets_nœuds du tétraèdre.
 
Une page spéciale a été consacrée au pont de Wheatstone en raison de son importance pédagogique (historique):
 
===Rôle des entrées sinusoïdales===
Un signal réel sinusoidalsinusoïdal d'amplitude A , de pulsation <math>\omega</math>, <math>E(t) = A cos(\omega t + \phi)= Re ( A e^{i\phi}\cdot e^{i \omega t})</math> est dit d'amplitude complexe E = A exp i <math>\phi</math>.
Ces signaux jouent un rôle très important à cause du théorème de Fourier : tout signal périodique peut se décomposer en une SOMME de signaux sinusoidauxsinusoïdaux des harmoniques de la pulsation .
 
On raisonne désormais avec les amplitudes complexes de signaux de pulsation <math>\omega</math>
Elle implique "raisonnablement" que le signal de sortie s(t) ne puisse pas "précéder" l'entrée e(t). Pour être plus précis, appelons Y(t) la fonction de Heaviside : nulle pour t négatif, égale à 1 pour t positif ( en réalité exp-t/<math>\tau</math>, mais avec <math>\tau </math> immensément grand devant les échelles de temps t à considérer ).
 
*On ne considèreraconsidérera que les systèmes d'entrée "à support positif" : ''' e(t) = Y(t).e(t)'''.
*causalité-électrocinétique veut dire : si ''' e(t) = Y(t).e(t)''', alors '''s(t) = Y(t).s(t)'''
*On ne veut pas entrer ici dans des discussions philosophiques sur la causalité en philosophie. La causalité-électrocinétique est ici simplement un '''mot''' pour traduire l'implication-mathématique précédente (que sa véracité soit contredite expérimentalement est un autre problème).
 
===Bibliographie===
*Jackson : ElectrodynamiqueÉlectrodynamique classique, Dunod(2001)
*Bode : Network analysis and feedback Amplifier, VanNostrand ( 1945).
*Arnal : signaux et circuits, Dunod(1970)