« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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Dans les trois mailles monoclinique, rhomboédrique et hexagonale, deux angles <math> \alpha, \beta</math> sont égaux à 90°, ce qui signifie qu'il y a une face rectangulaire. Plus précisément, le système rhomboédrique a une face carrée et les deux autres ont une face rectangulaire. On peut prendre cette face comme base pour simplifier les calculs : il devient facile de calculer l'aire de la base, la seule difficulté étant de calculer la hauteur. Le calcul de la hauteur s'effectue pas un raisonnement de trigonométrie assez trivial, ce qui donne :
 
: <math>H = L \times \cos(\omega)</math>, avec H la hauteur, L la longueur du cotécôté et en multipliant par <math>\cos(\omega)</math>, avec <math>\omega</math> l'angle que fait ce cotécôté avec la base.
 
On a donc la formule générale :
 
: <math>V = A \times L \times \cos(\omega)</math>, avec V le volume de la maille, A l'aire de sa base, L le cotécôté restant, et <math>\omega</math> l'angle que fait ce cotécôté avec la base.
 
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Enfin, dans le cas général, les angles et longueurs sont arbitraires, mais la même logique se reproduit. La formule précédente s'applique, sauf qu'il faut aussi calculer l'aire de la base, qui est un parallélogramme. Cette aire est égale au produit de la longueur de la base par la hauteur, hauteur calculée à partir de l'autre cotécôté avec la même méthode que précédemment. La seule différence est que le cosinus se transforme en sinus. Le résultat est une formule assez complexe, que voici. Notons que cette formule s'applique au système triclinique, mais aussi aux cas précédents, qui ne sont que des cas particuliers du cas avec angles et longueurs arbitraires.
 
: <math>a \times b \times c \times \sin(\beta) \times \cos(\gamma)</math>
On peut simplifier les calculs précédents en utilisant les outils du calcul vectoriel et notamment les produits vectoriels et scalaires.
 
Dans l'espace à deux dimensions, la surface de la maille est donnédonnée par la norme du produit vectoriel des deux vecteurs de base :
 
: <math>V = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = ab\sin{\gamma}</math>, où le symbole <math>\wedge</math> représente le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit vectoriel|produit vectoriel]].
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