« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions
Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux (modifier)
Version du 25 mars 2022 à 15:43
, il y a 1 an→Le volume d'une maille
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Dans les trois mailles monoclinique, rhomboédrique et hexagonale, deux angles <math> \alpha, \beta</math> sont égaux à 90°, ce qui signifie qu'il y a une face rectangulaire. Plus précisément, le système rhomboédrique a une face carrée et les deux autres ont une face rectangulaire. On peut prendre cette face comme base pour simplifier les calculs : il devient facile de calculer l'aire de la base, la seule difficulté étant de calculer la hauteur. Le calcul de la hauteur s'effectue pas un raisonnement de trigonométrie assez trivial, ce qui donne :
: <math>H = L \times \cos(\omega)</math>, avec H la hauteur, L la longueur du
On a donc la formule générale :
: <math>V = A \times L \times \cos(\omega)</math>, avec V le volume de la maille, A l'aire de sa base, L le
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Enfin, dans le cas général, les angles et longueurs sont arbitraires, mais la même logique se reproduit. La formule précédente s'applique, sauf qu'il faut aussi calculer l'aire de la base, qui est un parallélogramme. Cette aire est égale au produit de la longueur de la base par la hauteur, hauteur calculée à partir de l'autre
: <math>a \times b \times c \times \sin(\beta) \times \cos(\gamma)</math>
On peut simplifier les calculs précédents en utilisant les outils du calcul vectoriel et notamment les produits vectoriels et scalaires.
Dans l'espace à deux dimensions, la surface de la maille est
: <math>V = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = ab\sin{\gamma}</math>, où le symbole <math>\wedge</math> représente le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit vectoriel|produit vectoriel]].
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