« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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On peut simplifier les calculs précédents en utilisant les outils du calcul vectoriel et notamment les produits vectoriels et scalaires.
 
Dans l'espace à deux dimensions, lela volumesurface de la maille est donné par la norme du produit vectoriel des deux vecteurs de base :
 
: <math>V = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = ab\sin{\gamma}</math>, où le symbole <math>\wedge</math> représente le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit vectoriel|produit vectoriel]].
 
Dans l'espace à trois dimensions, le volume de la maille est le produit mixte des vecteurs de base, en respectant l'ordre des vecteurs du trièdre direct. Le choix de former un trièdre direct avec les vecteurs de base se comprend par cette définition du volume de la maille : un volume est toujours positif. On peut remarquer que cette formule est strictement identique à la formule du cas général vue plus haut. Le produit vectoriel permet de calculer l'aire de la base, le produit scalaire multiplie cette dernière par la hauteur.
 
: <math>V = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})</math>
 
On peut remarquer que cette formule est strictement identique à la formule du cas général vue plus haut.
 
Le choix de former un trièdre direct avec les vecteurs de base se comprend par cette définition du volume de la maille : un volume est toujours positif.
 
Le volume d'une maille est aussi égal à la racine carrée du déterminant du tenseur métrique. Dans le cas à trois dimensions, cela donne :
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