« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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==Le volume d'une maille==
 
Le volume d'une maille n'est pas très difficile à calculer. Dans le cas général, une maille est un parallélépipède,dont le volume est le produit entre l'aire de sa base et sa hauteur. Toute la difficulté tient à calculer l'aire de la base et la hauteur, ce qui demande souvent quelques calculs trigonométriques.
 
Les cas les plus simples sont celui des mailles orthogonales, dont les trois angles sont égaux à 90°. Les mailles cubiques sont des cubes dont le volume est leur longueur élevée au cube. Les cas des mailles orthorhombique et tétragonale n'est pas plus difficile, vu que ces mailles sont des pavés droits, dont le volume est le produit des trois cotés.
 
{| class="wikitable"
|+ Volume des mailles orthogonales
|-
! Cubique
| [[Image:Cubic.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a^3</math>
|-
! Orthorhombique
| [[Image:Orthorhombic.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a \times b \times c</math>
|-
! Tétragonale
| [[Image:Tetragonal.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a^2 \times b</math>
|}
 
Dans les trois mailles monoclinique, rhomboédrique et hexagonale, deux angles <math> \alpha, \beta</math> sont égaux à 90°, ce qui signifie qu'il y a une face rectangulaire. Plus précisément, le système rhomboédrique a une face carrée et les deux autres ont une face rectangulaire. On peut prendre cette face comme base pour simplifier les calculs : il devient facile de calculer l'aire de la base, la seule difficulté étant de calculer la hauteur. Le calcul de la hauteur s'effectue pas un raisonnement de trigonométrie assez trivial, en prenant la longueur du coté c et en multipliant par <math>sin \omega</math>, avec <math>\omega</math> l'angle que fait ce coté avec la base.
 
{| class="wikitable"
|+ Volume des mailles orthogonales
|-
! Monoclinique
| [[Image:Monoclinic.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a \times b \times \left[ c \sin(\beta) \right]</math>
|-
! Rhomboédrique
| [[Image:Rhombohedral.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a^2 \times \left[ a \sin(\alpha)\right]</math>
|-
! Hexagonal
| [[Image:Hexagonal latticeFRONT.svg|class=transparent|80px]]
| <math>a \times c \times \left[ a \sin(\gamma) \right]</math>
|}
 
Enfin, dans le cas général, les angles et longueurs sont arbitraires, mais la même logique se reproduit. Encore une fois, on prend l'aire de la base, qu'on multiplie par la longueur du coté c et en multipliant par <math>sin \omega</math>, avec <math>\omega</math> l'angle que fait ce coté avec la base. Le calcul de l'aire se fait avec le même raisonnement. Le résultat est une formule assez complexe, que voici. Notons que cette formule s'applique au système triclinique, mais aussi aux cas précédents, qui ne sont que des cas particuliers du cas avec angles et longueurs arbitraires.
 
: <math>V = abc \sqrt{1 - \cos^2{\alpha} - \cos^2{\beta} - \cos^2{\gamma} + 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}}</math>
 
===Calculer le volume d'une maille avec les outils du calcul vectoriel===
 
On peut simplifier les calculs précédents en utilisant les outils du calcul vectoriel et notamment les produits vectoriels et scalaires.
 
Dans l'espace à deux dimensions, le volume de la maille est donné par la norme du produit vectoriel des deux vecteurs de base :
: <math>V = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})</math>
 
On peut remarquer que cette formule est strictement identique à la formule du cas général vue plus haut.
Ou encore :
 
: <math>V = abc \sqrt{1 - \cos^2{\alpha} - \cos^2{\beta} - \cos^2{\gamma} + 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}}</math>
 
Le choix de former un trièdre direct avec les vecteurs de base se comprend par cette définition du volume de la maille : un volume est toujours positif.
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