« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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{{Cristallographie géométrique}}
Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.
 
==Le système de coordonnées dans un cristal==
 
[[Image:Rovinna afinni soustava souradnic.svg|vignette|Lecture des coordonnées d'un point dans un système non orthogonal.]]
 
Le système de coordonnées d'un réseau est défini par les vecteurs de base '''a''', '''b''' et '''c''' de sa maille conventionnelle. L'utilisation d'un système de coordonnées lié aux vecteurs de la maille conventionnelle du réseau plutôt que d'un système orthonormé permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. En particulier, l'écriture des [[Algèbre linéaire/Matrices|matrices]] représentatrices des opérations de symétrie dans le cristal est facilitée (voir le chapitre sur la [[Cristallographie géométrique/Symétrie ponctuelle|symétrie ponctuelle]]).
 
Les vecteurs de base sont toujours choisis de façon à former un trièdre direct. Dans le cas général, les vecteurs de base peuvent être de longueurs différentes et former des angles non égaux à 90°. Le système de cordonnées du réseau est orthogonal seulement dans les systèmes cristallins orthorhombique, tétragonal et cubique. Dans un système de coordonnées non orthogonal, une coordonnée d'un point se lit sur l'axe correspondant en y projetant le point parallèlement aux autres axes.
 
La position d'un point A quelconque dans un cristal est définie par son vecteur position '''r'''{{ind|''A''}} :
 
: <math>\mathbf{r}_A = x_A\mathbf{a} + y_A\mathbf{b} + z_A\mathbf{c}</math>, où les coordonnées ''x''{{ind|''A''}}, ''y''{{ind|''A''}} et ''z''{{ind|''A''}} du point A sont des nombres réels.
 
Tout vecteur '''t''' s'écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau :
:<math>\mathbf{t} = u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c} = \begin{bmatrix} u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a} \\ \mathbf{b} \\ \mathbf{c} \end{bmatrix}.</math>
Si '''t''' est un vecteur du réseau, ses composantes ''u'', ''v'' et ''w'' sont des nombres entiers.
 
==Opérations sur les vecteurs==
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