« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions
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Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.
==Le
[[Image:Rovinna afinni soustava souradnic.svg|vignette|Lecture des coordonnées d'un point dans un système non orthogonal.]]
Le système de coordonnées d'un réseau est défini par les vecteurs de base '''a''', '''b''' et '''c''' de sa maille conventionnelle. L'utilisation d'un système de coordonnées lié aux vecteurs de la maille conventionnelle du réseau plutôt que d'un système orthonormé permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. En particulier, l'écriture des [[Algèbre linéaire/Matrices|matrices]] représentatrices des opérations de symétrie dans le cristal est facilitée (voir le chapitre sur la [[Cristallographie géométrique/Symétrie ponctuelle|symétrie ponctuelle]]).
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Si '''t''' est un vecteur du réseau, ses composantes ''u'', ''v'' et ''w'' sont des nombres entiers.
==
===
Le produit scalaire entre deux vecteurs '''t'''{{ind|1}} et '''t'''{{ind|2}} exprimés dans une base non orthogonale {'''a''', '''b''', '''c'''} est définit par :
:<math>\mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 = |t_1| \, |t_2| \cos{\theta}</math>
où θ est l'angle entre '''t'''{{ind|1}} et '''t'''{{ind|2}} et |'''t'''| représente la norme (ou longueur) d'un vecteur, donnée par :
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Le produit scalaire est [[Algèbre/Lois#Loi commutative|commutatif]] : '''t'''{{ind|2}}<math>\cdot</math>'''t'''{{ind|1}}='''t'''{{ind|1}}<math>\cdot</math>'''t'''{{ind|2}}.
===
[[Image:Vecteurs produit vectoriel.png|thumb|Produit vectoriel.]]
Le produit vectoriel entre deux vecteurs '''t'''{{ind|1}} et '''t'''{{ind|2}} de normes non nulles est noté '''t'''{{ind|1}}<math>\wedge</math>'''t'''{{ind|2}}. Son résultat est un troisième vecteur '''t'''{{ind|3}} tel que :
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* si |'''t'''{{ind|3}}|=|'''t'''{{ind|1}}| |'''t'''{{ind|2}}|, les deux vecteurs '''t'''{{ind|1}} et '''t'''{{ind|2}} sont perpendiculaires : θ=90°.
===
Le produit mixte de trois vecteurs '''t'''{{ind|1}}, '''t'''{{ind|2}} et '''t'''{{ind|3}} est le produit scalaire d'un des vecteurs par le produit vectoriel des deux autres. Si '''t'''{{ind|1}}, '''t'''{{ind|2}} et '''t'''{{ind|3}} forment un trièdre direct, le produit mixte des trois vecteurs est positif et est égal au volume ''V'' de la maille définie par ces vecteurs :
:<math>V = \mathbf{t}_1 \cdot (\mathbf{t}_2 \wedge \mathbf{t}_3) = \mathbf{t}_2 \cdot (\mathbf{t}_3 \wedge \mathbf{t}_1) = \mathbf{t}_3 \cdot (\mathbf{t}_1 \wedge \mathbf{t}_2).</math>
==Le tenseur métrique d'une maille==
Le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique|tenseur métrique]] '''G''' est utilisé pour les calculs dans les réseaux. Il n'est pas nécessaire de l'utiliser mais il facilite grandement les calculs dans les cas où les vecteurs de base ne forment pas un système orthogonal.
===La définition du tenseur métrique===
Le tenseur métrique est défini par les paramètres de la maille. Les composantes du tenseur métrique sont les produits scalaires des vecteurs de base de la maille.
: ''Dans ce qui suite, on note <math>\cdot</math> le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit scalaire|produit scalaire]].''
Dans l'espace bidimensionnel, le tenseur métrique s'écrit comme une matrice symétrique de rang 2 :
:<math>\mathbf{G} = \begin{bmatrix}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a^2 & ab\cos{\gamma} \\
ab\cos{\gamma} & b^2
\end{bmatrix}.</math>
Le tenseur métrique s'écrit comme une matrice symétrique de rang 3 dans l'espace tridimensionnel :
:<math>\mathbf{G} = \begin{bmatrix}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{c} \cdot \mathbf{c}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a^2 & ab\cos{\gamma} & ac\cos{\beta} \\
ab\cos{\gamma} & b^2 & bc\cos{\alpha} \\
ac\cos{\beta} & bc\cos{\alpha} & c^2
\end{bmatrix}</math>
===Le tenseur métrique est un très bon outil de calcul===
Le tenseur métrique est un très bon outil pour les calculs. Par exemple, il peut servir à calculer le produit scalaire entre deux vecteurs dans une base non-orthogonale :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 & = & {}^t\mathbf{t}_1 \, \mathbf{G} \, \mathbf{t}_2 = \begin{bmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^2 & ab\cos{\gamma} & ac\cos{\beta} \\ ab\cos{\gamma} & b^2 & bc\cos{\alpha} \\ ac\cos{\beta} & bc\cos{\alpha} & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_2 \\ v_2 \\ w_2 \end{bmatrix} \\[3ex]
& = & u_1 u_2 a^2 + u_1 v_2 ab\cos{\gamma} + u_1 w_2 ac\cos{\beta} \\
& & + v_1 u_2 ab\cos{\gamma} + v_1 v_2 b^2 + v_1 w_2 bc\cos{\alpha} \\
& & + w_1 u_2 ac\cos{\beta} + w_1 v_2 bc\cos{\alpha} + w_1 w_2 c^2
\end{array}</math>
où {{exp|''t''}}'''t'''{{ind|1}} désigne la transposée du vecteur '''t'''{{ind|1}}. Dans un système orthogonal, on retrouve la formule simple
:<math>\mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 = u_1 u_2 a^2 + v_1 v_2 b^2 + w_1 w_2 c^2.</math>
De même, le produit mixte est la racine carrée du déterminant du tenseur métrique défini par les vecteurs de bases '''t'''{{ind|1}}, '''t'''{{ind|2}} et '''t'''{{ind|3}} :
:<math>\mathbf{t}_1 \cdot (\mathbf{t}_2 \wedge \mathbf{t}_3) = \sqrt{ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_1 & \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_3 \\ \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_3 \\ \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_3 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_3 & \mathbf{t}_3 \cdot \mathbf{t}_3 \end{array} \right| }.</math>
==Le réseau réciproque==
===Définitions, propriétés===
Le « réseau réciproque » d'un réseau est son réseau [[:w:Dualité (mathématiques)|dual]]. Le réseau lui-même, dans lequel est décrit le cristal, est appelé « réseau direct ».
Par définition, si '''r''' est un vecteur du réseau direct, le vecteur '''r{{exp|*}}''' appartient au réseau réciproque si son produit scalaire avec '''r''' est un nombre entier relatif :
:<math>\mathbf{r}^* \cdot \mathbf{r} = n.</math>
Les vecteurs du réseau réciproque sont notés avec une étoile en exposant. Le réseau réciproque est, comme le réseau direct, invariant par translation.
Les vecteurs de base <math>\mathbf{e}^*_i</math> du réseau réciproque se calculent à partir de leurs produits scalaires avec les vecteurs de base '''e'''{{ind|''i''}} du réseau direct :
:<math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j^* = \delta_{ij}</math>
où δ{{ind|''ij''}} est le [[:w:Symbole de Kronecker|symbole de Kronecker]]. Le vecteur <math>\mathbf{e}^*_i</math> est ainsi orthogonal aux vecteurs '''e'''{{ind|''j''}} tels que ''j''≠''i''. L'origine du réseau réciproque est choisie identique à celle du réseau direct. Si les longueurs des vecteurs de base du réseau direct sont exprimées en Å, celles des vecteurs de base du réseau réciproque sont exprimées en Å{{exp|−1}}. D'après cette définition, on voit que le réseau dual du réseau réciproque est le réseau direct.
Dans l'espace à trois dimensions, les vecteurs de translation '''τ{{exp|*}}''' sont des combinaisons linéaires des vecteurs de base '''a{{exp|*}}''', '''b{{exp|*}}''' et '''c{{exp|*}}''' :
:<math>\mathbf{\tau^*} = h \mathbf{a^*} + k \mathbf{b^*} + l \mathbf{c^*}</math>
où ''h'', ''k'' et ''l'' sont des nombres entiers. Les vecteurs de base '''a{{exp|*}}''', '''b{{exp|*}}''' et '''c{{exp|*}}''' peuvent être exprimés de la façon suivante :
:<math>\begin{array}{ccc}
\displaystyle{\mathbf{a}^* = \frac{\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}}{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c})} = \frac{\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}}{V},} & \displaystyle{\mathbf{b}^* = \frac{\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}}{V},} & \displaystyle{\mathbf{c}^* = \frac{\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}}{V}.}
\end{array}</math>
Le triplet des vecteurs de base {'''a{{exp|*}}''', '''b{{exp|*}}''', '''c{{exp|*}}'''} définit une maille du réseau réciproque. À cette base est rattaché un tenseur métrique réciproque '''G{{exp|*}}''' :
:<math>\mathbf{G^*} = \begin{bmatrix}
\mathbf{a^*} \cdot \mathbf{a^*} & \mathbf{a^*} \cdot \mathbf{b^*} & \mathbf{a^*} \cdot \mathbf{c^*} \\
\mathbf{a^*} \cdot \mathbf{b^*} & \mathbf{b^*} \cdot \mathbf{b^*} & \mathbf{b^*} \cdot \mathbf{c^*} \\
\mathbf{a^*} \cdot \mathbf{c^*} & \mathbf{b^*} \cdot \mathbf{c^*} & \mathbf{c^*} \cdot \mathbf{c^*}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a^{*2} & a^*b^*\cos{\gamma^*} & a^*c^*\cos{\beta^*} \\
a^*b^*\cos{\gamma^*} & b^{*2} & b^*c^*\cos{\alpha^*} \\
a^*c^*\cos{\beta^*} & b^*c^*\cos{\alpha^*} & c^{*2}
\end{bmatrix}.</math>
Le tenseur métrique réciproque est l'[[Algèbre linéaire/Matrice inverse|inverse]] du tenseur métrique direct : '''G{{exp|*}}'''='''G'''{{exp|−1}}. Connaissant le tenseur métrique direct, le calcul de son inverse permet de retrouver les paramètres de maille réciproques (cette méthode est surtout utile dans le cas du système cristallin triclinique). En particulier, le volume de la maille réciproque est l'inverse du volume de la maille directe :
:<math>V^* = \sqrt{\displaystyle{|\mathbf{G}^*|}} = \sqrt{\frac{1}{|\mathbf{G}|}} = \frac{1}{V}.</math>
Si les vecteurs de base du réseau réciproque sont connus, ceux du réseau direct sont donnés par
:<math>\begin{array}{ccc}
\displaystyle{\mathbf{a} = \frac{\mathbf{b}^* \wedge \mathbf{c}^*}{V^*},} & \displaystyle{\mathbf{b} = \frac{\mathbf{c}^* \wedge \mathbf{a}^*}{V^*},} & \displaystyle{\mathbf{c} = \frac{\mathbf{a}^* \wedge \mathbf{b}^*}{V^*}.}
\end{array}</math>
Le concept de réseau réciproque est très utilisé dans la théorie de la diffraction par un cristal. Il n'est pas nécessaire de l'utiliser en cristallographie géométrique mais il facilite beaucoup de calculs, particulièrement dans les systèmes cristallins de basse symétrie.
===Classification des réseaux réciproques===
Comme les réseaux directs, les réseaux réciproques peuvent être classés en six famille cristallines, sept systèmes cristallins et sept systèmes réticulaires. Il existe une correspondance de symétrie entre réseau direct et réseau réciproque : un réseau direct et son réseau réciproque appartiennent au même système cristallin.
{| class="wikitable"
|+ Paramètres de maille des réseaux direct et réciproque
|-
! scope="col" | Système réticulaire !! Réseau direct !! Réseau réciproque
|-
| Triclinique || <math>\begin{array}{l} a \neq b \neq c, \\ \alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}\end{array}</math> || <math>a^* \neq b^* \neq c^*, \, \alpha^* \neq \beta^* \neq \gamma^* \neq 90^{\circ}</math><br/>Paramètres calculables par '''G'''{{exp|*}}='''G'''{{exp|−1}}
|-
| Monoclinique || <math>\begin{array}{l} a \neq b \neq c, \\ \alpha = \gamma = 90^{\circ} \neq \beta\end{array}</math> || <math>\begin{array}{l} \displaystyle{a^* = \frac{1}{a \sin{\beta}}, \, b^* = \frac{1}{b}, \, c^* = \frac{1}{c \sin{\beta}},} \\[2ex] \alpha^* = \gamma^* = 90^{\circ}, \, \beta^* = 180-\beta\end{array}</math>
|-
| Orthorhombique || <math>\begin{array}{l} a \neq b \neq c, \\ \alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}\end{array}</math> || <math>\begin{array}{l} \displaystyle{a^* = \frac{1}{a}, \, b^* = \frac{1}{b}, \, c^* = \frac{1}{c}, \, \alpha^* = \beta^* = \gamma^* = 90^{\circ}}\end{array}</math>
|-
| Tétragonal || <math>\begin{array}{l} a = b \neq c, \\ \alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}\end{array}</math> || <math>\begin{array}{l} \displaystyle{a^* = b^* = \frac{1}{a}, \, c^* = \frac{1}{c}, \, \alpha^* = \beta^* = \gamma^* = 90^{\circ}}\end{array}</math>
|-
| Rhomboédrique || <math>\begin{array}{l} a = b = c, \\ \alpha = \beta = \gamma \neq 90^{\circ}\end{array}</math> || <math>\begin{array}{l} \displaystyle{a^* = b^* = c^* = \frac{\sin{\alpha}}{a \sqrt{1-3\cos^2{\alpha}+2\cos^3{\alpha}}},} \\[2ex] \displaystyle{\alpha^* = \beta^* = \gamma^* = \cos^{-1}{\left( {\frac{\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}} \right) }}\end{array}</math>
|-
| Hexagonal || <math>\begin{array}{l} a = b \neq c, \\ \alpha = \beta = 90^{\circ}, \\ \gamma = 120^{\circ}\end{array}</math> || <math>\begin{array}{l} \displaystyle{a^* = b^* = \frac{2}{a\sqrt{3}}, \, c^* = \frac{1}{c},} \\[2ex] \alpha^* = \beta^* = 90^{\circ}, \, \gamma^* = 60^{\circ}\end{array}</math>
|-
| Cubique || <math>\begin{array}{l} a = b = c, \\ \alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}\end{array}</math> || <math>a^* = b^* = c^* = \frac{1}{a}, \, \alpha^* = \beta^* = \gamma^* = 90^{\circ}</math>
|}
Dans le système réticulaire hexagonal, l'angle γ{{exp|*}} entre les vecteurs '''a'''{{exp|*}} et '''b'''{{exp|*}} du réseau réciproque ne vaut pas 120° mais 60°. Le réseau réciproque appartient quand même au système hexagonal : le changement de base '''a'''{{exp|*}}'=−'''a'''{{exp|*}} et '''b'''{{exp|*}}'=−'''b'''{{exp|*}} conduit à γ{{exp|*}}'=120°.
==Rangées réticulaires==
{{définition|définition=Une rangée réticulaire ou direction d'un réseau représente un ensemble de droites parallèles qui passent chacune par au moins deux nœuds du réseau.}}
Elle est définie par un vecteur primitif '''t''' tel que
Ligne 73 ⟶ 180 :
* [100], [010] et [001] dans le système cubique (directions ''a'', ''b'' et ''c'').
==
{{définition|définition=Un plan réticulaire est un plan qui passe par au moins trois nœuds du réseau.}}
[[Image:MillerIndex123.png|thumb|Plan (632).]]
Ligne 105 ⟶ 213 :
Par exemple, les faces délimitant un cristal de symétrie et de morphologie cubique sont les faces <math>(1\,0\,0),</math> <math>(\bar{1}\,0\,0),</math> <math>(0\,1\,0),</math> <math>(0\,\bar{1}\,0),</math> <math>(0\,0\,1)</math> et <math>(0\,0\,\bar{1})</math> : on utilise ici les indices de Laue pour distinguer les faces opposées du cristal. Les faces <math>(0\,0\,1)</math> et <math>(0\,0\,\bar{1})</math> sont des faces parallèles mais différentes du cristal, alors que les plans réticulaires <math>(0\,0\,1)</math> et <math>(0\,0\,\bar{1})</math> sont identiques et sont notés <math>(0\,0\,1)</math> avec les indices de Miller.<!-- Exemple en diffraction ? -->
===
Dans le système réticulaire hexagonal, on utilise parfois quatre indices pour désigner un plan : (''hkil''). L'introduction du quatrième indice ''i'' n'est pas nécessaire puisque trois indices suffisent pour désigner un plan, mais elle est utile pour trouver facilement les plans équivalents entre eux par symétrie.
Ligne 120 ⟶ 228 :
* le plan <math>(\bar{1}\,\bar{1}\,2\,0)</math> est perpendiculaire à la rangée <math>[\bar{1}\,\bar{1}\,0].</math>
===
Un plan (''hkl'') coupe les directions ''a'', ''b'' et ''c'' aux points A, B et C de coordonnées (1/''h'',0,0), (0,1/''k'',0) et (0,0,1/''l''), respectivement. Soient '''t'''{{ind|1}}='''AB''' et '''t'''{{ind|2}}='''AC''' deux vecteurs contenus dans ce plan :
:<math>\begin{array}{lcr}\mathbf{t}_1 = \displaystyle{ -\frac{1}{h} \mathbf{a} + \frac{1}{k} \mathbf{b},} & & \mathbf{t}_2 = \displaystyle{ -\frac{1}{h} \mathbf{a} + \frac{1}{l} \mathbf{c}.}\end{array}</math>
Ligne 137 ⟶ 246 :
Réciproquement, un plan du réseau réciproque est noté (''uvw''){{exp|*}} et a pour rangée perpendiculaire la rangée [''uvw''] du réseau direct.
===
Une rangée [''uvw''] de vecteur primitif '''t''' est parallèle au plan (''hkl'') si elle est perpendiculaire au vecteur '''H''' déterminé dans la section précédente. Cette condition se traduit par :
:<math> \mathbf{t} \cdot \mathbf{H} = (u \mathbf{a} + v \mathbf{b} + w \mathbf{c}) \cdot (h \mathbf{a}^* + k \mathbf{b}^* + l \mathbf{c}^*) = 0</math>
Ligne 152 ⟶ 262 :
où ''n'' est un nombre entier représentant l'ordre du plan dans la famille de plans réticulaires considérée.
===
{{définition|définition=La distance interréticulaire ''d{{ind|hkl}}'' est la plus courte distance qui sépare deux plans réticulaires d'une même famille {''hkl''}.}}
Elle est égale à l'inverse de la norme du vecteur '''H''' perpendiculaire aux plans (''hkl'') :
Ligne 168 ⟶ 279 :
<math>\frac{1}{d_{hkl}^2} = \frac{\displaystyle{\frac{h^2}{a^2}\sin^2{\alpha}+\frac{k^2}{b^2}\sin^2{\beta}+\frac{l^2}{c^2}\sin^2{\gamma}-\frac{2kl}{bc}(\cos{\alpha}-\cos{\beta}\cos{\gamma})-\frac{2lh}{ca}(\cos{\beta}-\cos{\gamma}\cos{\alpha})-\frac{2hk}{ab}(\cos{\gamma}-\cos{\alpha}\cos{\beta})}}{1-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}}.</math>
===
L'angle θ entre deux plans (''h''{{ind|1}}''k''{{ind|1}}''l''{{ind|1}}) et (''h''{{ind|2}}''k''{{ind|2}}''l''{{ind|2}}) est égal à l'angle entre les vecteurs '''H'''{{ind|1}} et '''H'''{{ind|2}} qui leur sont perpendiculaires.
:<math>\theta = \cos^{-1}{\frac{\mathbf{H}_1 \cdot \mathbf{H}_2}{|\mathbf{H}_1| \, |\mathbf{H}_2|}}.</math>
Ligne 177 ⟶ 289 :
:<math>\theta = \cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 54,74^{\circ}.</math>
===
{{définition|définition=Une zone est une rangée réticulaire commune à au moins deux plans réticulaires.}}
D'après l'équation d'un plan, une zone [''uvw''] appartient aux plans (''h{{ind|1}}k{{ind|1}}l{{ind|1}}'') et (''h{{ind|2}}k{{ind|2}}l{{ind|2}}'') si elle remplit simultanément les conditions :
Ligne 193 ⟶ 306 :
Par exemple, dans tout système cristallin, les plans (100), (010), (110) et (210), entre autres, sont parallèles à la rangée [001], qui est l'axe de zone de ces plans. Les plans (''hk''0) sont des plans tautozonaux. Leurs normales sont parallèles au plan zonal (001){{exp|*}}.
==Le volume d'une maille==
Dans l'espace à deux dimensions, le volume de la maille est donné par la norme du produit vectoriel des deux vecteurs de base :
: <math>V = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = ab\sin{\gamma}</math>, où le symbole <math>\wedge</math> représente le [[Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit vectoriel|produit vectoriel]].
Dans l'espace à trois dimensions, le volume de la maille est le produit mixte des vecteurs de base, en respectant l'ordre des vecteurs du trièdre direct :
: <math>V = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})</math>
Ou encore :
: <math>V = abc \sqrt{1 - \cos^2{\alpha} - \cos^2{\beta} - \cos^2{\gamma} + 2 \cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}}</math>
Le choix de former un trièdre direct avec les vecteurs de base se comprend par cette définition du volume de la maille : un volume est toujours positif.
Le volume d'une maille est aussi égal à la racine carrée du déterminant du tenseur métrique. Dans le cas à trois dimensions, cela donne :
:<math>V = \sqrt{|\mathbf{G}|} = \sqrt{\left| \begin{array}{ccc}
a^2 & ab\cos{\gamma} & ac\cos{\beta} \\
ab\cos{\gamma} & b^2 & bc\cos{\alpha} \\
ac\cos{\beta} & bc\cos{\alpha} & c^2
\end{array} \right|}</math>
Dans l'espace à deux dimensions, cela donne :
:<math>V = \sqrt{|\mathbf{G}|} = \sqrt{\left| \begin{array}{cc}
a^2 & ab\cos{\gamma} \\
ab\cos{\gamma} & b^2
\end{array} \right|} = \sqrt{a^2 b^2 - a^2 b^2 \cos^2{\gamma}} = ab\sin{\gamma}.</math>
===Le volume d'une maille multiple===
Pour un même réseau, une maille contenant ''N'' nœuds a un volume ''N'' fois plus grand que celui de la maille primitive. Cela peut se comprendre intuitivement en comparant les aires des triangles formés dans la figure précédente. Une démonstration plus rigoureuse consiste à calculer les volumes des deux mailles. Dans l'exemple de la maille bidimensionnelle centrée, soient ''V''{{ind|''p''}} et ''V''{{ind|''c''}} les volumes des mailles primitive et double, respectivement :
: <math>\begin{array}{ccccc}
V_p & = & |\mathbf{a}_p \wedge \mathbf{b}_p| & = & a_p b_p \sin{\gamma_p}, \\[1ex]
V_c & = & |\mathbf{a}_c \wedge \mathbf{b}_c| & = & a_c b_c \sin{\gamma_c}.
\end{array}</math>
Les vecteurs de base '''a'''{{ind|''c''}} et '''b'''{{ind|''c''}} de la maille double peuvent être exprimés en fonction des vecteurs de base '''a'''{{ind|''p''}} et '''b'''{{ind|''p''}} de la maille primitive :
: <math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_c \\ \mathbf{b}_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_p \\ \mathbf{b}_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p \\ -\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p \end{bmatrix}</math>
Le volume de la maille double s'écrit donc :
: <math>\begin{array}{rcl}
V_c = \sqrt{|\mathbf{G}_c|} & = & \sqrt{\left| \begin{array}{cc}
(\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) \cdot (\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) & (\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) \cdot (-\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) \\[1ex]
(\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) \cdot (-\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) & (-\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p) \cdot (-\mathbf{a}_p + \mathbf{b}_p)
\end{array} \right|} \\[4ex]
& = & \sqrt{\left| \begin{array}{cc}
a_p^2 + b_p^2 + 2 a_p b_p \cos{\gamma_p} & -a_p^2 + b_p^2 \\[1ex]
-a_p^2 + b_p^2 & a_p^2 + b_p^2 - 2 a_p b_p \cos{\gamma_p}
\end{array} \right|} \\[4ex]
& = & \sqrt{(a_p^2 + b_p^2 + 2 a_p b_p \cos{\gamma_p})(a_p^2 + b_p^2 - 2 a_p b_p \cos{\gamma_p}) - (-a_p^2 + b_p^2)^2} \\[2ex]
& = & \sqrt{(a_p^2 + b_p^2)^2 - (2 a_p b_p \cos{\gamma_p})^2 - (-a_p^2 + b_p^2)^2} \\[2ex]
& = & \sqrt{4 a_p^2 b_p^2 - 4 a_p^2 b_p^2 \cos^2{\gamma_p}} = 2 a_p b_p \sin{\gamma_p} = 2 V_p.
\end{array}</math>
| |||