« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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Un plan réticulaire P est défini par son intersection avec les axes du système de coordonnées. Les coordonnées des points d'intersections sont (''x{{ind|P}}'',0,0), (0,''y{{ind|P}}'',0) et (0,0,''z{{ind|P}}''). Comme le plan P contient des nœuds du réseau, les coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' sont des [[Algèbre/Nombres rationnels|nombres rationnels]]. Dans l'exemple de la figure ci-contre, ''x{{ind|P}}''=1, ''y{{ind|P}}''=2 et ''z{{ind|P}}''=3. Si un plan est parallèle à un axe du système de coordonnées, son intersection avec cet axe a lieu à l'infini : la coordonnée correspondante est <math>\infty</math>.
 
===Les Indicesindices de Miller et Laue===
Un plan réticulaire est noté par des indices ''h'', ''k'' et ''l'' entre parenthèses : (''hkl''). Il ne s'agit pas directement des coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' des points d'intersection du plan avec les axes : ''h'', ''k'' et ''l'' sont des nombres entiers. Comme pour les rangées, si un indice est négatif, il est écrit avec un trait au-dessus.
 
LesEn indicescristallographie, l'utilisation des coordonnées d'hintersection n'est pas la seule méthode pour définir un plan d’intersection. Il existe deux autres notations pour définir un plan, qui n'utilisent pas directement les coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''ky{{ind|P}}'' et ''lz{{ind|P}}'' sontdes points d'intersection du plan avec les axes. Elles s'appellent respectivement les indices appelésde « indices de Miller » ou « indices de Laue ». La différence entre les deux est expliquée dans les sections suivantes.
 
UnDans les deux cas, un plan réticulaire est noté par destrois indices ''h'',qui ''k''sont etdes ''l''nombres entre parenthèses : (''hkl'')entiers. IlLes netrois s'agitindices passont directement des coordonnéesnotés ''x{{ind|P}}h'', ''y{{ind|P}}k'' et ''z{{ind|P}}l'' deset pointssont d'intersectionécrit du plan avec les axesentreparenthèses : (''hhkl'', ''k'' et ''l'' sont des nombres entiers). Comme pour les rangées, si un indice est négatif, il est écrit avec un trait au-dessus.
=== Indices de Miller ===
Les indices de Miller ''h'', ''k'' et ''l'' d'un plan P sont des nombres entiers premiers entre eux. Ils sont définis par les coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' des points d'intersection du plan avec les axes du système de coordonnées.
 
====Les indices de Miller====
La première étape pour obtenir les indices de Miller consiste à inverser les coordonnées des points d'intersection : 1/''x{{ind|P}}'', 1/''y{{ind|P}}'' et 1/''z{{ind|P}}''. Si le plan est parallèle à un axe, l'indice correspondant est égal à 0. Dans l'exemple de la figure, les inverses des coordonnées sont donnés par 1/''x{{ind|P}}''=1/1=1, 1/''y{{ind|P}}''=1/2 et 1/''z{{ind|P}}''=1/3. Afin d'obtenir des indices ''h'', ''k'' et ''l'' entiers, il suffit de multiplier les inverses des coordonnées par le produit de leurs dénominateurs. Dans notre exemple, ce produit vaut 6 : on obtient ''h''=6, ''k''=3 et ''l''=2, qui sont premiers entre eux. Le plan P est donc le plan (632). Si les indices obtenus ne sont pas premiers entre eux, il faut ensuite les diviser par leur plus grand diviseur commun.
 
Les indices de Miller ''h'', ''k'' et ''l'' d'un plan P sont des nombres entiers premiers entre eux. Ils sont définis parà lespartir des coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' des points d'intersection du plan avec les axes du système de coordonnées. La procédure pour calculer ces indices est la suivante :
* La première étape pour obtenir les indices de Miller consiste à inverser les coordonnées des points d'intersection : 1/''x{{ind|P}}'', 1/''y{{ind|P}}'' et 1/''z{{ind|P}}''. Si le plan est parallèle à un axe, l'indice correspondant est égal à 0.
* Ensuite, pour obtenir des indices ''h'', ''k'' et ''l'' entiers, il suffit de multiplier les inverses des coordonnées par le produit de leurs dénominateurs.
* Si les indices obtenus ne sont pas premiers entre eux, il faut ensuite les diviser par leur plus grand diviseur commun.
 
Dans l'exemple de la figure, les inverses des coordonnées sont donnés par 1/''x{{ind|P}}''=1/1=1, 1/''y{{ind|P}}''=1/2 et 1/''z{{ind|P}}''=1/3. Leur produit vaut 6 : on obtient ''h''=6, ''k''=3 et ''l''=2. Ils sont premiers entre eux, ce qui fait qu'on n'a pas à faire de manipulations en plus. Le plan P est donc le plan (632).
 
Du fait de la périodicité du réseau, (''hkl'') désigne en réalité une infinité de plans parallèles entre eux, dont un passe toujours par l'origine.
* <math>(1\,0\,0),</math> <math>(\bar{1}\,0\,0),</math> <math>(0\,1\,0)</math> et <math>(0\,\bar{1}\,0)</math> dans la famille tétragonale.
 
====Les Indicesindices de Laue ====
 
Les indices de Laue sont utilisés pour la diffraction par les cristaux et pour la description des formes cristallines. Alors que les indices de Miller d'un plan sont forcément premiers entre eux, ce n'est pas le cas pour les indices de Laue. Le contexte d'utilisation des indices ''h'', ''k'' et ''l'' permet de distinguer entre ces deux notations.
 
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