« Les suites et séries » : différence entre les versions

Les suites et séries sont des outils mathématiques très utilisés dans de nombreux domaines : algèbre, analyse, statistiques et probabilités, et même en physique ou en économie. Une bonne partie des mathématiques est basée sur ces suites et séries. Sans eux, pas de dérivées ni d'intégrales, pas de fonction récurrentes, et bien d'autres. Pourtant, il s'agit d'outils mathématiques simples à comprendre et à appréhender. AÀ tel point qu'ils sont enseignés aux élèves lors de leur enseignement secondaire. Ce cours va vous enseigner ce qu'il y a à savoir sur les suites ainsi que leurs grandes amies de toujours : les séries et sommes partielles.

: '''Pré-requisPrérequis'''  : Vous pouvez suivre ce cours à partir du moment où vous avez suivi une scolarité au lycée, et que vous avez une maitrise correcte des concepts appris dans cette période de la scolarité. Dans le détail, vous devez connaitre : un minimum de théorie des ensembles, avoir des bases sur les nombres réels, quelques bases de l'analyse (savoir ce qu'est une fonction, par exemple) et connaitre les preuves par induction.

: Ce cours suivra une approche un peu différente des cours scolaires sur le sujet. En effet, la plupart des cours sur les suites et série introduisent très rapidement le concept de limite d'une suite, avant de passer aux séries, avec éventuellement un interlude propédeutique sur les sommes partielles entre les deux. La première version de ce wikilivre ne faisait pas exception et suivait cette approche. Il faut dire que cette approche est assez logique, la notion de limite d'une suite étant primordiale : on ne peut pas vraiment étudier les suites quand on ne dispose du concept de limite et des outils associés. La seule chose qui soit possible, c'est d'étudier les sommes partielles, mais ce concept sert surtout d'introduction aux séries. Mais un problème avec cette approche est que tout ce qui a trait aux sommes partielles est généralement simple par rapport à ce qui touche aux limites de suites et aux séries. On se retrovueretrouve donc avec un cours en dentdents de scie, avec un début un peu compliqué, suivi par uenune partie simple sur les sommes partielles, puis un retour à al complexité avec les séries.

: Ce wikilivre va cependant suivre l'approche suivante : nous parlerons d'abord des généralités sur les suites, puis des sommes partielles, avant de voir la limite d'une suite, puise de passer aux séries. LA raison à cela est une question accessibilité du cours. L'objectif est de faire en sorte que les lecteurs puissepuissent aller le plus loin possible dans ce cours avec des pré-requisprérequis minimaux. En effet, les généralités sur les suites, ainsi que tout ce qui a trait aux sommes partielles, est accessible à quiconque a un bagage limité en mathématique. Leur étude ne requiert que les bases de l'arithmétique et de l’algèbre, les démonstrations sont simples et calculatoires, on peut se passer du formalisme ou le limiter au maximum. De plus, ces concepts ne demandent pas de manipuler des infinis ou de raisonner sur des suites infinies : on peut se contenter d'étudier un nombre limité de termes. Mais tout change une fois que la notion de limite est introduite : on se retrouve à manipuler des infiniment grands ou des infiniment petits, le formalisme est incontournable, les démonstrations moins intuitives. Aussi, l'approche de ce wikilivre fournit une entrée assez simple au domaine des suites, en commençant paspar des concepts simples, avant d'augmenter progressivement en complexité. Repousser ainsi le concept de limite permet aux débutants en maths, voire aux élèves de collège, d'aller assez loin dans ce cours, quitte à devoir s'arrêter à la partie 3.