« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

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L'induction est l'opposée de la déduction. Lorsque nous raisonnons par ''induction'', nous observons comment les choses se comportent dans des cas particuliers et, à partir de là, nous construisons des conclusions sur leur comportement dans les cas généraux. Par exemple :
:<math>1 + 2 + 3 + ...\dotsb + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
Nous savons que c'est vrai pour tous les nombres, parce que [[w:Gauss|Gauss]] nous l'a dit. Mais comment montrons-nous que c'est vrai pour tous les nombres entiers positifs ? Même si nous pouvons montrer que l'identité reste valable pour les nombres de un à milliard, ou pour tout nombre plus grand que nous pouvons penser, nous n'avons pas encore démontré que cela est vrai pour ''tous les nombres entiers positifs''. C'est ici que l'induction mathématique intervient.
 
'''Exemple 1'''
Montrer que l'identité
:<math>1 + 2 + 3 + ...\dotsb + n = \frac{(n + 1)n}{2} </math>
reste valable pour tous les nombres entiers positifs.
 
:<math>1 + 2 + 3 = \frac{4 \times 3}{2} = 6\,</math>
Supposons que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'' strictement positif, alors
:<math>1 + 2 + 3 + ...\dotsb + k = \frac{(k + 1)k}{2} </math>
est vrai.
 
:<math>
\begin{matrix}
1 + 2 + 3 + ...\dotsb + k & & =& \frac{1}{2}(k + 1)k\\
\end{matrix}
</math>
:<math>
\begin{matrix}
1 + 2 + 3 + ...\dotsb + k &+ (k + 1) &=& \frac{1}{2}(k + 1)k + (k + 1)\\
\\
& & = & (k + 1)(\frac{k}{2} + 1)\\
Comme ''k'' est supérieur à 1, on sait que ''k + 1'' est supérieur à 2, et donc
: (k + 1)*2<sup>k</sup> > 2<sup>k + 1</sup>
Par transivitétransitivité, on a donc :
:(k + 1)*k! > 2<sup>k + 1</sup>
DoùD'où, finalement :
:(k + 1)! > 2<sup>k + 1</sup>
Nous avons donc montré que, si n = k alors, il est vrai aussi pour n = k + 1. Puisqu'il est vrai pour n = 4, il est alors vrai pour n = 5, 6, 7, 8 et ainsi de suite pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à 4.
'''Exemple 3'''
Montrer que
:<math>1^3 + 2^3 + ...\dotsb + n^3 = \frac {(n+1)^2n^2}{4} </math>
 
'''Solution'''
 
Supposons maintenant que cela est vrai pour n = k, i.e.
:<math>1^3 + 2^3 + ...\dotsb + k^3 = \frac {(k+1)^2k^2}{4} </math>
 
Il en découle que
:<math>
\begin{matrix}
1^3 + 2^3 + ...\dotsb + k^3 + (k+1)^3 & = &\frac {(k+1)^2k^2}{4} + (k+1)^3\\
& = & (k+1)^2 (\frac{k^2}{4} + (k+1))\\
& = & \frac {1}{4}(k+1)^2 (k^2 + 4k + 4)\\
 
=== Exercices ===
1. Démontrer que <math>1^2 + 2^2 + ...\dotsb + n^2 = \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6} </math>
 
2. Démontrer que, pour tout n ≥ 1, on peut exprimer <math> (1 + \sqrt{5})^n</math> sous la forme
Démontrer qu'il existe une formule explicite pour
:<math>\sum_{i=1}^ni^m</math> pour tous les entiers ''m''. C.a.d.
<math>1^3 + 2^3 + ...\dotsb + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
 
4. La somme de tous les angles d'un triangle est <math>180^\circ</math>; La somme de tous les angles d'un rectangle est <math>360^\circ</math>. Démontrer que la somme de tous les angles d'un polygone à ''n'' côtés, est <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.
 
Considérons l'identité vraie suivante
:<math>(x + y)z = xz + yz</math>
qui n'est pas inclue dans les axiomes, mais que nous pouvons démontrer en les utilisant.
:<math>
solution
 
rappel : soit p(x) un polynôme de degré n ,si p/q est une racine rationnelle irréductible de p(x) alors p divise an et q divise a0.
 
on considère le polynôme p(x) = x² - 2 = 0
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