« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions

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==== info - Somme infinies ====
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Les deux expressions ne sont pas ''égales''. C'est simplement le cas pour certaines valeurs de ''x'' (-1 < x < -1), nous pouvons faire une approximation du cotécôté droit ''aussi près que possible'' en ajoutant un grand nombre de termes du cotécôté gauche. Par exemple, supposons ''x'' = 1/2, le cotécôté droit = 2; l'approximation du cotécôté gauche en utilisant seulement 5 termes 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1,9375, qui est proche de 2, comme vous pouvez l'imaginer, en additionnant de plus en plus de termes, nous approcherons de 2.
 
<br />
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</blockquote>
 
De toute manière, nous ne ferons attention qu'aux belles propriétés algébriques et non aux valeurs numériques. AÀ partir de maintenant, nous omettrons la condition pour que l'égalité soit vraie lorsque nous écrivons les séries de puissances.
 
Considérons un cas plus général :
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alors
:g'(x) = f'(x)
La loi ci-dessus est importante. Si g(x) une forme réduite de f(x), alors la dérivation des deux cotéscôtés est valide pour obtenir une nouvelle série de puissances.
 
Aussi, si
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Commençons par :
:<math>f(z) = {(1 - z)}^n\,</math>
Développons le cotécôté droit en utilisant le développement du binôme
:<math>f(z) = \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i}z^i
= 1 - {n \choose 1}z + {n \choose 2}z^2 + ... + (-1)^nz^n</math>
dérivons les deux cotéscôtés
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i{n \choose i}iz^{i-1}
= - {n \choose 1} + {n \choose 2}2z + ... + (-1)^nnz^{n-1}</math>
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Nous savons que
:<math>\frac{1} {1 - x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....</math>
dérivons les deux cotéscôtés
:<math>\begin{pmatrix}\frac{1} {1 - x^2}\end{pmatrix}' = 2x + 4x^3 + 6x^5 + ....</math>
 
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Nous démarrons à partir de :
:<math>\frac{1}{1 - z} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ...</math>
et dérivons les deux cotéscôtés (noter que 1 = 1!)
:<math>\frac{1!}{(1 - z)^2} = 1 + 2x + 3x^2... + nx^{n-1} + ...</math>
nous dérivons de nouveau
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et ainsi de suite pour (n-1) fois
:<math>\frac{(n-1)!}{(1 - z)^n} = (n - 1)! + \frac{n!}{1!}x + \frac{(n + 1)!}{2!}x^2 + \frac{(n + 2)!}{3!}x^3 + ...</math>
nous divisons les deux cotéscôtés par (n-1)!
:<math>\frac{1}{(1 - z)^n} = 1 + \frac{n!}{(n-1)!1!}x + \frac{(n + 1)!}{(n-1)!2!}x^2 + \frac{(n + 2)!}{(n-1)!3!}x^3 + ...</math>
ceci confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
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d)Ainsi, déterminer combien de mois sont nécessaires pour tout rembourser s'ils rendent 12 000 € chaque mois.
 
2. Un arbre binaire est un arbre où à partir de chaque nœud, on peut avoir deux noeudsnœuds. Montrer que la figure suivante est un exemple d'arbre binaire.
[[Image:Arbre binaire.svg]]
 
a)Soit <math>c_n\,</math> le nombre d'arrangements uniques d'un arbre binaire avec n noeudsnœuds au total. Soit C(z), une série de puissances de <math>c_n\,</math>.
 
(i)Définir C(z) en utilisant la récursion.
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(ii)En utilisant les résultats à partir de a) et b)(i) , ou autrement, déduire une formule pour for <math>c_n\,</math>.
 
Conseil : Au lieu de faire une récursion pour rechercher le changement dans <math>c_n\,</math> lorsqu'on ajoute des noeudsnœuds à la base, essayer de penser à la manière opposée, et à la direction. (Et non, sans supprime de noeudsnœuds)
 
[[Catégorie:Approfondissements de lycée (livre)|Dénombrement et séries de puissances]]