« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions
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Ligne 42 :
==== info - Somme infinies ====
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Les deux expressions ne sont pas ''égales''. C'est simplement le cas pour certaines valeurs de ''x'' (-1 < x < -1), nous pouvons faire une approximation du
<br />
Ligne 50 :
</blockquote>
De toute manière, nous ne ferons attention qu'aux belles propriétés algébriques et non aux valeurs numériques.
Considérons un cas plus général :
Ligne 437 :
alors
:g'(x) = f'(x)
La loi ci-dessus est importante. Si g(x) une forme réduite de f(x), alors la dérivation des deux
Aussi, si
Ligne 565 :
Commençons par :
:<math>f(z) = {(1 - z)}^n\,</math>
Développons le
:<math>f(z) = \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i}z^i
= 1 - {n \choose 1}z + {n \choose 2}z^2 + ... + (-1)^nz^n</math>
dérivons les deux
:<math>f'(z) = \sum_{i=1}^n (-1)^i{n \choose i}iz^{i-1}
= - {n \choose 1} + {n \choose 2}2z + ... + (-1)^nnz^{n-1}</math>
Ligne 679 :
Nous savons que
:<math>\frac{1} {1 - x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....</math>
dérivons les deux
:<math>\begin{pmatrix}\frac{1} {1 - x^2}\end{pmatrix}' = 2x + 4x^3 + 6x^5 + ....</math>
Ligne 706 :
Nous démarrons à partir de :
:<math>\frac{1}{1 - z} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ...</math>
et dérivons les deux
:<math>\frac{1!}{(1 - z)^2} = 1 + 2x + 3x^2... + nx^{n-1} + ...</math>
nous dérivons de nouveau
Ligne 712 :
et ainsi de suite pour (n-1) fois
:<math>\frac{(n-1)!}{(1 - z)^n} = (n - 1)! + \frac{n!}{1!}x + \frac{(n + 1)!}{2!}x^2 + \frac{(n + 2)!}{3!}x^3 + ...</math>
nous divisons les deux
:<math>\frac{1}{(1 - z)^n} = 1 + \frac{n!}{(n-1)!1!}x + \frac{(n + 1)!}{(n-1)!2!}x^2 + \frac{(n + 2)!}{(n-1)!3!}x^3 + ...</math>
ceci confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
Ligne 729 :
d)Ainsi, déterminer combien de mois sont nécessaires pour tout rembourser s'ils rendent 12 000 € chaque mois.
2. Un arbre binaire est un arbre où à partir de chaque nœud, on peut avoir deux
[[Image:Arbre binaire.svg]]
a)Soit <math>c_n\,</math> le nombre d'arrangements uniques d'un arbre binaire avec n
(i)Définir C(z) en utilisant la récursion.
Ligne 744 :
(ii)En utilisant les résultats à partir de a) et b)(i) , ou autrement, déduire une formule pour for <math>c_n\,</math>.
Conseil : Au lieu de faire une récursion pour rechercher le changement dans <math>c_n\,</math> lorsqu'on ajoute des
[[Catégorie:Approfondissements de lycée (livre)|Dénombrement et séries de puissances]]
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