« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

aucun résumé des modifications
(add wiki link)
Aucun résumé des modifications
 
Nous pouvons voir à partir de ce qui précède qu'un nombre complexe unique est un point dans le plan complexe. Nous pouvons aussi représenter des ''ensembles'' de nombres complexes; ceux-ci forment des ''régions'' du plan. Par exemple, l'ensemble
:<math>\{a+bi | -1 \le a \le 1, -1 \le b \le 1\}</math>
est un carré de cotécôté 2 centré sur l'origine.
 
=== Fonctions à valeurs complexes ===
 
== Racines complexes de l'unité ==
Les racines complexes de l'unité de degré n est l'ensemble de solutions de l'équation <math>x^n = 1\,</math>. Elles sont toutes de module 1. Elles forment un groupe cyclique multiplicatif. Pour tout n donné, il existe exactement n racines, et elles forment un polygone à n cotéscôtés régulier dans le plan complexe muni du cercle unité.
 
Une forme réduite de ces solutions peut être donnée en utilisant la formule d'Euler :
Si on applique la similitude correspondant à ''Z'' à un vecteur d'affixe ''z'', l'affixe du vecteur résultant est tout simplement le produit &nbsp; ''Z'' . ''z'' ..
 
=== Résolution d'équations polynômialespolynomiales dans <math>\mathbb{C}</math> ==
 
Dans tout ce qui suit, on suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est toujours non nul.
 
=== EquationÉquation monômiales ===
 
EquationsÉquations de la forme :
: <math> a z^n = 0 \,</math>
 
0 racine évidente de multiplicité ''n'', sauf si ''n'' = 0. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.
 
=== EquationsÉquations binômialesbinomiales ===
 
EquationsÉquations de la forme :
: <math> a z^n + b = 0 \,</math>
 
=== Équations à trois monômes ou plus ===
 
Il n'existe pas de méthode algébrique générale de résolution de ces équations (On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...).
(On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...)
Néanmoins, il existe des méthodes quand le degré de l'équation est assez faible (inférieur à 5) ou que celle-ci présente certaines régularités (c'est [[w:Évariste Galois|Évariste Galois]] qui a déterminé la méthode générale indiquant si une équation donnée est soluble algébriquement (« par radicaux ») ou non).