« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

4. La somme de tous les angles d'un triangle est <math>180^\circ</math>; La somme de tous les angles d'un rectangle est <math>360^\circ</math>. Démontrer que la somme de tous les angles d'un polygone à ''n'' cotéscôtés, est <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.

'''11ère er methodeméthode :'''

où ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (i.e. les deux entiers n'onont pas de facteurs en commun). Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, nous enlevons tous les facteurs communs. En d'autres mots, la fraction <math>\frac{a}{b}</math> est sous la forme irréductible. Maintenant, continuons :

Nous avons découvert que ''b²'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> soursous la forme <math>\frac{a}{b}</math>, c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationelirrationnel.

'''22ème eme methodeméthode : voir si dessous'''

:'''A1:''' ''a''+''b'' est aussi dans <math>\mathbb{R}\,</math> (''clotûreclôture'')

:'''M1:''' ''ab'' est aussi dans l'ensemble des réels (zéro exclut) (''clotûreclôture'')

:'''A1:''' ''a''+''b'' est aussi dans ''F'' (''clotureclôture'')

Pour les étudiants intéressés, les concepts de ''clotureclôture'', ''identité'', avoir des ''inverses'' et ''associativité'' d'une opération et un ensemble sont connus comme un [[Algèbre abstraite:groupes|groupe]]. Si ''F'' est un groupe muni de l'addition et ''F''^* est un groupe muni de la multiplication, plus le concept de la distributivité, ''F'' est un corps. Les axiomes ci-dessus établissent simplement ce fait.

2. Démontrer en utilisant seulement les axiomes si u + v = u + w alors v = w (soustraire u à partir des deux cotéscôtés n'est pas accepté comme solution)

"""" DemontrerDémontrer que <math>\sqrt{2}</math> n'appartient pas a Q sans utiliser le raisonnemmentraisonnement par l'absurde """

''''''"""" DemontrerDémontrer que <math>\sqrt{2}</math> n'appartient pas a Q sans utiliser le raisonnemmentraisonnement par l'absurde """'''

rapelrappel : soit p(x) un polynomepolynôme de degreedegré n ,si p/q est une racine rationnelle irreductibleirréductible de p(x) alors p divise an et q divise a0.

on considereconsidère le polynomepolynôme p(x) = x² - 2 = 0

si le polynomepolynôme admet une solution rationellerationnelle p/q alors p divise 1 et q divise 2

alors p (x) n'admet pas une racine rationnelle irreductibleirréductible

puisque <math>\sqrt{2}</math> est une racine de p(x) alors il n'est pas rationnelllerationnel'''