« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

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<math>1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
 
4. La somme de tous les angles d'un triangle est <math>180^\circ</math>; La somme de tous les angles d'un rectangle est <math>360^\circ</math>. Démontrer que la somme de tous les angles d'un polygone à ''n'' cotéscôtés, est <math>(n - 2)\cdot 180^\circ</math>.
 
== Démonstration par l'absurde ==
=== Irrationalité de √2 ===
Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme <math>\frac{p}{q}</math>, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de 0 (voir la section [[Approfondissements de lycée/Nombres complexes|Catégories de nombres]]).
'''11ère er methodeméthode :'''
 
Tout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br />
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
</math><br />
où ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (i.e. les deux entiers n'onont pas de facteurs en commun). Si ''a'' et ''b'' ne sont pas premiers entre eux, nous enlevons tous les facteurs communs. En d'autres mots, la fraction <math>\frac{a}{b}</math> est sous la forme irréductible. Maintenant, continuons :
:<math>
\begin{matrix}
</math>
 
Nous avons découvert que ''b<sup>2</sup>'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> soursous la forme <math>\frac{a}{b}</math>, c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationelirrationnel.
'''22ème eme methodeméthode : voir si dessous'''
 
=== Infinité de nombres premiers ===
Soient ''a'', ''b'' et ''c'' des nombres réels
: Pour ''a'', ''b'', et ''c'' réels
:'''A1:''' ''a''+''b'' est aussi dans <math>\mathbb{R}\,</math> (''clotûreclôture'')
:'''A2:''' Il existe 0, tel que 0 + ''a'' = ''a'' pour tout ''a'' (existence de zéro - une ''identité'')
:'''A3:''' Pour chaque ''a'', il existe ''b'' (écrit -''a''), tel que a + b = 0 (existence d'un opposé)
 
: Pour ''a'', ''b'', et ''c'' réels en excluant zéro
:'''M1:''' ''ab'' est aussi dans l'ensemble des réels (zéro exclut) (''clotûreclôture'')
:'''M2:''' Il existe un élément, 1, tel que 1''a'' = ''a'' pour tout ''a'' (existence de un - une ''identité'')
:'''M3:''' Pour chaque ''a'' il existe a ''b'' tel que ''ab'' = 1
Un ensemble de nombres, ''F'', est un ''corps'' s'il admet les opérations + et x tel que :
: Pour ''a'', ''b'', et ''c'' issus de ''F''
:'''A1:''' ''a''+''b'' est aussi dans ''F'' (''clotureclôture'')
:'''A2:''' Il existe 0, tel que 0 + ''a'' = ''a'' pour tout ''a'' (existence de zéro - une ''identité'')
:'''A3:''' Pour chaque ''a'', il existe ''b'' (écrit -''a''), tel que a + b = 0 (existence d'un opposé)
Maintenant, pour '''M3''', ''b'' doit être différent de zéro, puisque 1/0 n'a pas de sens. Néanmoins pour les axiomes ''M'', nous avons exclu zéro de toute façon.
 
Pour les étudiants intéressés, les concepts de ''clotureclôture'', ''identité'', avoir des ''inverses'' et ''associativité'' d'une opération et un ensemble sont connus comme un [[Algèbre abstraite:groupes|groupe]]. Si ''F'' est un groupe muni de l'addition et ''F''<sup>*</sup> est un groupe muni de la multiplication, plus le concept de la distributivité, ''F'' est un corps. Les axiomes ci-dessus établissent simplement ce fait.
 
Noter que l'ensemble des nombres naturels n'est pas un corps, comme '''M3''' n'est en général pas satisfait, i.e. chaque nombre naturel n'a pas d'inverse qui est aussi un nombre naturel.
1. Expliquer (ou démontrer) pourquoi 1 ≠ 0 dans tout corps
 
2. Démontrer en utilisant seulement les axiomes si u + v = u + w alors v = w (soustraire u à partir des deux cotéscôtés n'est pas accepté comme solution)
 
3. Démontrer que si xy = 0 alors soit x = 0 ou y = 0
 
== Ensemble de problèmes ==
"""" DemontrerDémontrer que <math>\sqrt{2}</math> n'appartient pas a Q sans utiliser le raisonnemmentraisonnement par l'absurde """
 
1. Démontrer que
 
 
''''''"""" DemontrerDémontrer que <math>\sqrt{2}</math> n'appartient pas a Q sans utiliser le raisonnemmentraisonnement par l'absurde """'''
 
solution
 
rapelrappel : soit p(x) un polynomepolynôme de degreedegré n ,si p/q est une racine rationnelle irreductibleirréductible de p(x) alors p divise an et q divise a0.
 
on considereconsidère le polynomepolynôme p(x) = x² - 2 = 0
 
si le polynomepolynôme admet une solution rationellerationnelle p/q alors p divise 1 et q divise 2
 
donc p = 1 ou -1 et q = 2 ou -2 ou 1 ou ,-1
or ni 1/2 ni -1/2 n'est solution de p(X)
 
alors p (x) n'admet pas une racine rationnelle irreductibleirréductible
 
puisque <math>\sqrt{2}</math> est une racine de p(x) alors il n'est pas rationnelllerationnel'''
 
[[Catégorie:Approfondissements de lycée (livre)|Démonstrations]]